为什么ln(1+ x)和x是等价无穷小？

Question

如题所述

Answer 1

limln(1+x)/x （x趋于0）=lim1/1+x (运用洛必达法则)=1。所以 ln(1+x)和x是等价无穷小。

等价无穷小是现代词，是一个专有名词，指的是数学术语，是大学高等数学微积分使用最多的等价替换。

无穷小就是以数零为极限的变量。确切地说，当自变量x无限接近某个值x0(x0可以是0、∞、或是别的什么数)时，函数值f(x)与零无限接近，即f(x)=0(或f(x0)=0)，则称f(x)为当x→x0时的无穷小量。

从无穷小的比较里可以知道，如果lim b/a^n=常数，就说b是a的n阶的无穷小， b和a^n是同阶无穷小。特殊地，如果这个常数是1，且n=1，即lim b/a=1，则称a和b是等价无穷小的关系，记作a～b。


这里值得一提的是，无穷小是可以比较的：假设a、b都是lim(x→x0)时的无穷小，如果lim b/a=0，就说b是比a高阶的无穷小，记作b=o（a）。如果lim b/a=∞，就是说b是比a低阶的无穷小。

Answer 2

x趋于0时，ln（1+x）和x是等价无穷小
可以利用泰勒展开直观的证明：
ln(1+x) =x-x²/2+x³/3+……+(-1)^(n-1) * x^n/n

Answer 3

根据泰勒公式
ln(1+x)= x-(1/2)x^2+(1/3)x^3+...
=>
ln(1+x)等价于x