ln(1+ x)为什么是x的等价无穷小？

Question

如题所述

Answer 1

x趋于0，ln(1+x)与x是等价无穷小
这是因为:
令 g(x) = ln(1+x),
g(0) = 0；
[ln(1+x)] ' = 1 / (1+x),
g'(0) = 1；

[ln(1+x)] '' = -1 / (1+x)^2,
g''(0) = -1；

[ln(1+x)] ''' = 2 / (1+x)^3,
g''(0) = 2!；

一般有：
[ln(1+x)] ^(k) = (-1)^(k-1) * (k-1)!/ (1+x)^k,
g^(k)(0) = (-1)^(k-1) * (k-1)!；

根据泰勒展开式有：
ln(1+x) = x - x^2 / 2 + x^3 / 3 + ......+ (-1)^(n-1) * x^n / n + ……