当二阶常系数非齐次线性微分方程的自由项含有 cos(wx)（其中 w 是常数）时，我们可以使用待定系数法来求解。
首先，假设非齐次项为 cos(wx) ，我们可以猜测待定解的形式为：
y_p(x) = A cos(wx) + B sin(wx)
其中，A 和 B 是待定系数。
接下来，我们需要对待定解进行求导，并将其代入原微分方程中，求解出 A 和 B 的值。
1. 求导：
y_p'(x) = -Aw sin(wx) + Bw cos(wx)
y_p''(x) = -A(w^2) cos(wx) - B(w^2) sin(wx)
2. 将待定解及其导数代入原微分方程中，消去非齐次项，得到一个关于 A 和 B 的代数方程。然后根据方程的系数相等，解出待定系数 A 和 B。
将上述求导结果代入原微分方程：
- A(w^2) cos(wx) - B(w^2) sin(wx) + p(x)(A cos(wx) + B sin(wx)) = f(x)
其中，p(x) 是二阶常系数非齐次线性微分方程中二阶导数项的系数，f(x) 是自由项。
通过整理方程，将 cos(wx) 和 sin(wx) 的系数分开，然后比较两边的系数：
[A(w^2) + p(x)A] cos(wx) + [- B(w^2) + p(x)B] sin(wx) = f(x)
根据系数相等，可以得到以下方程组：
A(w^2) + p(x)A = 0
- B(w^2) + p(x)B = f(x)
解这个方程组，就能求得待定系数 A 和 B 的值。
请注意，待定系数法是一种常用的方法，但在某些特殊情况下可能会失效。在实际应用中，可能需要考虑其他方法来求解微分方程。
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