可以用等价无穷小替换分母吗？

Question

如题所述

Answer 1

不可以。

请注意是分子或分母而不是分子分母中的某一项或某几项。这是完全不同的概念。

例如sinx和x等价，但（sinx-tanx）=-sinx(1-cosx)=-2sinx sin^2(x/2)，等价于-2x(x/2)^2 =-1/2x^3,是比x高阶的无穷小。

利用的是极限存在时，乘积的极限等于极限的乘积。即下图中的画线部分。其中分母用等价无穷小代替。其画线部分是两个函数乘积的极限，两个极限都是存在的。

第一部分画线的极限，用的是极限存在时，和差的极限等于极限的和差 。在limsinx/x求极限时，是两个函数商的形式，可以用等价的。

相关信息

求极限时，使用等价无穷小的条件：

1、被代换的量，在取极限的时候极限值为0。

2、被代换的量，作为被乘或者被除的元素时可以用等价无穷小代换，但是作为加减的元素时就不可以。

极限方法是数学分析用以研究函数的基本方法，分析的各种基本概念(连续、微分、积分和级数)都是建立在极限概念的基础之上，然后才有分析的全部理论、计算和应用.所以极限概念的精确定义是十分必要的，它是涉及分析的理论和计算是否可靠的根本问题。