已知函数fx等于(2-a)(x-1)-2Lnx(a属于R (1)当a=1时 求fx单调区间(2)若函数fx在(0,1/2)上无零点 求a的最小

Question

如题所述

Answer 1

(1)

a=1时

f(x)=x-1-2lnx (x>0)

求导f'(x)=1-2/x=(x-2)/x

令g(x)=x-2

根据g(x)不难看出f(x)在（0，2）上递减，在[2，正无穷）上递增

（2）f(x)=(2-a)x+a-2-2lnx （x>0）

f'(x)=2-a-2/x=[(2-a)x-2]/x

另g(x)=(2-a)x-2

分类讨论

当2-a<0,即a>2时

f(x)在（0，1/2）上递减

最小值f(1/2)=a/2+2ln2-1>0

所以f(x)无零点

当2-a>0,即a<2时

f(x)在（0，2/(2-a)）上递减，在[2/（2-a）,正无穷）上递增

所以当2/(2-a)>=1/2，即a>=-2，f(x)递减，所以最小值f(1/2)=a/2+2ln2-1>0，无零点，符合题意

当2/(2-a)<1/2，即a<-2时，最小值f(2/(2-a))=a+2ln(4-2a)>0

这个方程不会解。。。

综上，a属于[-2，正无穷），这是肯定对的，就是最后一步那个方程不会解。。。。如果有解的话，和a<-2取一下交集，

Answer 2

（II）因为f（x）＜0在区间(0，12)上恒成立不可能，
故要使函数f(x)在(0，12)上无零点，
只要对任意的x∈(0，12)，f（x）＞0恒成立，即对x∈(0，12)，a＞2-2lnxx-1恒成立．
令l(x)=2-2lnxx-1，x∈(0，12)，则l(x)=-2x(x-1)-2lnx(x-1)2=2lnx+2x-2(x-1)2，
再令m(x)=2lnx+2x-2，x∈(0，12)，
则m′(x)=-2x2+2x=-2(1-x)x2＜0，故m（x）在(0，12)上为减函数，于是m(x)＞m(12)=2-2ln2＞0，
从而，l（x）＞0，于是l（x）在(0，12)上为增函数，所以l(x)＜l(12)=2-4ln2，
故要使a＞2-2lnxx-1恒成立，只要a∈[2-4ln2，+∞），
综上，若函数f（x）在(0，12)上无零点，则a的最小值为2-4ln2；