F是一个数域，在线性空间F[X]4定义变换σ（f（x））=f（x）+f ’（x），f（x）∈F[x ]4

Question

证明：1，σ是线性变换
2。求σ在基1,1+2x+3x^2,x-x^3下的矩阵
少了一个1+2x

Answer 1

题目是次数不超过4次的多项式构成的线性空间吧？我用A表示变换。
1、任意的f(x)，g(x)和实数a，有A(f(x)+g(x))=f(x)+g(x)+(f(x)+g(x))'=f(x)+f'(x)+g(x)+g'(x)=A(f(x))+A(g(x))，
A(af(x))=af(x)+(af(x))'=a(f(x)+f’(x))=aA(x)，
因此A是线性变换。
2、基是1 1+2x，1+2x+3x^2，x--x^3?
A(1)=1+1'=1=1*1+0*(1+2x)+0*(1+2x+3x^2)+0*(x-x^3);
A(1+2x)=3+2x=2*1+1*(1+2x)+0*(1+2x+3x^2)+0*(x-x^3);
A(1+2x+3x^2)=-1*1+3(2x+1)+1*(1+2x+3x^2)+0*(x-x^3);
A(x-x^3)=1*1+1*(2x+1)-1*(1+2x+3x^2)+1*(x-x^3)，
因此矩阵为【1 2 -1 1
0 1 3 1
0 0 1 -1
0 0 0 1】。