求分子是lnx，分母是(x的平方+1)的3/2次方，这个函数的不定积分

Question

如题所述

Answer 1

以下过程我将会说英文，高中生应该具备理解英文的能力噢。
∫lnx/(x²+1)^(3/2) dx
= ∫lnx d[∫dx/(x²+1)^(3/2)] = ∫lnx d[x/√(x²+1)]，integration by parts，1st step
= (xlnx)/√(x²+1) - ∫x/√(x²+1) dlnx，integration by parts，2nd step
= ... - ∫x/√(x²+1) * (1/x) dx = ... - ∫dx/√(x²+1)
For the term ∫dx/√(x²+1)，let x=tanθ => dx=sec²θ dθ，sinθ=x/√(x²+1)，cosθ=1/√(x²+1)
= ... - ∫(sec²θ dθ)/(secθ) = ... - ∫secθ dθ
= ... - ln|secθ+tanθ| + C
= (xlnx)/√(x²+1) - ln|x+√(x²+1)| + C

Answer 2

∫lnxdx/(1+x^2)^(3/2)=(x=tanu代换)=∫lnxd[x/(1+x^2)^(1/2)]=xln[x/(1+x^2)^(1/2)]-∫dx/(1+x^2)^(1/2)
x=tanu代换=xln[x/(1+x^2)(1/2)-1/2ln[(1+sin(arctanx)/(1-sinarctanx)] sin(arctanx)=x/(1+x^2)^(1/2)