求定积分，被积函数的分子是ln(x+1)，分母是x的平方加一，上限是1下限是0

Question

如题所述

Answer 1

先不管上下限，求不定积分的。
令t=ln(x+1);可得x=e^t-1;
所以dx=e^tdt=d(e^t);
所以原式=t*e^tdt/((e^t-1)^2+1);
由于
e^tdt/((e^t-1)^2+1)=d(arctan(e^t-1));
由dx/(x^2+1)=d(arctanx);
所以由分步积分有:
原式=t*d(arctan(e^t-1))
=t*arctan(e^t-1)-arctan(e^t-1)dt=t*arctan(e^t-1)-arctan(e^t-1)/e^td(e^t-1)
中间要求一个反正切的不定积分，可以利用分步积分 法，这里直接用:
arctan(x)dx=x*arctanx-ln(x^2+1)/2
所以有原式=t*arctan(e^t-1)-((e^t-1)*arctan(e^t-1)-ln((e^t-1)^2+1)/2)/e^t;
把t=ln(x+1)代回，或者改变上下限也行，就可以得到答案。
由于不定积分，有些东西不好打，所以有打错的东西，请更正，谢谢。