怎样判断一个函数是否是有界函数？

Question

如题所述

Answer 1

由于t趋近与无穷时，cos t不确定，所以这个值并不能确定，原函数 -cos t，当t趋于正无穷时极限不存在，sint发散，在这里用sin t 表示sin x。

柯西收敛准则：关于函数f(x)在点x0处的收敛定义。对于任意实数b>0，存在c>0，对任意x1，x2满足0<|x1-x0|<c，0<|x2-x0|<c，有|f(x1)-f(x2)|<b。

有界函数

有界函数是设f(x)是区间E上的函数，若对于任意的x属于E，存在常数m、M，使得m≤f(x)≤M，则称f(x)是区间E上的有界函数。其中m称为f(x)在区间E上的下界，M称为f(x)在区间E上的上界。

有界函数并不一定是连续的。根据定义，ƒ在D上有上（下）界，则意味着值域ƒ(D)是一个有上（下）界的数集。根据确界原理，ƒ在定义域上有上（下）确界。一个特例是有界数列，其中X是所有自然数所组成的集合N。由ƒ (x)=sinx所定义的函数f:R→R是有界的。

Answer 2

判断一个函数是否是有界函数，可以采用以下几种方法：

定义域法：如果函数的定义域为有限集合，则函数必有界。

极限法：如果函数在定义域内的所有点都有极限，且极限值为有限数，则函数必有界。

连续性法：如果函数在定义域内的所有点连续，则函数必有界。

其他方法：根据函数的具体形式进行判断。例如，如果函数为常函数，则必有界；如果函数为线性函数，则必有界；如果函数为指数函数，则当底数为负数时必有界，当底数为正数时不一定有界。

此外，对于一些特殊的函数，如三角函数、有理函数等，也可以根据其性质来判断是否有界。

需要注意的是，有些函数在某些特定区域内是有界的，但在整个定义域上可能无界。因此，在判断函数是否有界时，需要仔细分析函数的性质和定义域。