定义在R上的可导函数f（x）满足f（x+2）-f（x）=2f（1），y=f（x+1）的图象关于直线x=-1对称，且当x∈[2

Question

定义在R上的可导函数f（x）满足f（x+2）-f（x）=2f（1），y=f（x+1）的图象关于直线x=-1对称，且当x∈[2，4]时，f（x）=x2+2xf′（2），则f（-12）与f（163）的大小关系是（　　）A．f（-12）=f（163）B．f（-12）＜f（163）C．f（-12）＞f（163）D．不确定

Answer 1

若函数y=f（x+1）的图象关于直线x=-1对称，
将函数f（x+1）向右平移1个单位得到f（x）的图象，则f（x）关于直线x=0对称，
即函数f（x）是偶函数，
∵f（x+2）-f（x）=2f（1），
∴令x=-1得，f（-1+2）-f（-x）=2f（1），
即f（1）-f（1）=2f（1），解得f（1）=0，
即f（x+2）-f（x）=0，
∴f（x+2）=f（x）
即函数f（x）的周期是2，
∵f（x）=x²+2xf′（2），
∴f′（x）=2x+2f′（2），
令x=2，f′（2）=4+2f′（2），
解得f′（2）=-4，
∴f（x）=x²-8x=（x-4）²-16，
∴f（x）在[2，4]为减函数，
∴f（x）在[0，2]为减函数，
∵f（-

1

2

）=f（2-

1

2

）=f（

3

2

），f（

16

3

）=f（

16

3

-4）=f（

4

3

），
∴f（-

1

2

）＜f（

16

3

）
故选：B