怎么用数学归纳法证明由n个元素组成的集合有2的n次方个子集

Question

如题所述

Answer 1

有一个元素的子集个数为2（空集和全集），为2^1

假设有n个元素的子集为2^n

则对于n+1个元素的子集数量为2^n*2，即为2^(n+1)

当n=m+1时，也就是多了一个元素，然后把这个元素添加到之前的2的m次方个子集中，就会重新得到新的2的m次方个子集，因此n=m+1时，集合有2的m次方+2的m次方 个子集，也就是2倍的2的m次方，即2的m+1次方个子集，因此，当n=m+1，集合有2的m+1次方个子集。

性质

一、根据子集的定义，我们知道A⊆A。也就是说，任何一个集合是它本身的子集。

二、对于空集∅，我们规定∅⊆A，即空集是任何集合的子集。

说明：若A=∅，则∅⊆A仍成立。

证明：给定任意集合A，要证明∅是A的子集。这要求给出所有∅的元素是A的元素；但是，∅没有元素。对有经验的数学家们来说，推论“∅没有元素，所以∅的所有元素是A 的元素"是显然的；但对初学者来说，有些麻烦。

Answer 2

有一个元素的子集个数为2（空集和全集），为2^1
假设有n个元素的子集为2^n
则对于n+1个元素的子集数量为2^n*2，即为2^(n+1)

Answer 3

注意数学归纳法的格式：
首先，当n=1时，可以知道只有空集和本身是它的子集，也就是2的1次方
假设当n=m时，集合有2的m次方个子集
当n=m+1时，也就是多了一个元素，然后把这个元素添加到之前的2的m次方个子集中，就会重新得到新的2的m次方个子集，因此n=m+1时，集合有2的m次方+2的m次方 个子集，也就是2倍的2的m次方，即2的m+1次方个子集，因此，当n=m+1，集合有2的m+1次方个子集。
证毕。