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连续的周期函数一定是一致连续的
在什么条件下, (a, b)内的
连续函数
f(x)
为一致连续
?
答:
定理:有界区间 (a,b) 上的
函数
f
为一致连续的
充要条件是 f (a+0) 与 f (b+0) 均存在 ( 有限 )当 (a,b) 区间为无界区间时,充分性仍然成立,但必要性不再成立
证明
连续函数的一致连续
性为何那么困难?
答:
,则必有│f(x')-f(x'')│< ε。康托尔定理是断言:
函数
f在闭区间[a,b]上处处连续,则必
一致连续
。在微积分学中,这个定理非常重要。严格地讲,微积分基本定理的证明需要用到它。但是,”十一五”国家级规划教材《高等数学》对此定理“这里不予证明”(第74页),不知为何,
就
这么”一提而...
一致连续是
不是
一定连续
答:
|f(x)-f(y)|<e,|f(y)-f(t)|<e ;则 |f(x)-f(t)|<=|f(x)-f(y)|+|f(y)-f(t)|<2e;也
就是
对任取的e>0,存在d'=d/2,当|x-t|<d',有 |f(x)-f(t)|<2e ;即f(x)在点t连续;由于点t是在I上任意选取一点,f(x)在I上连续。所以
一致连续函数一定连续
。
如何证明f(x)=sinx在R上
一致
收敛?
答:
因为f'(x)=cosx在R上有界,所以f(x)=sinx在R上
一致连续
,因为f(x)=sinx在R上
是连续的周期函数
,所以f(x)=sinx在R上一致连续。定义方式与数列收敛类似。柯西收敛准则:关于函数f(x)在点x0处的收敛定义。对于任意实数b>0,存在c>0,对任意x1,x2满足0<|x1-x0|<c,0<|x2-x0|<c,有...
高等数学中
函数的连续
和
一致连续
有啥却别
答:
直观地说,函数曲线在考察范围内的 变化率 是有界的 ,曲线不能无限陡峭;或简单起见假设连续曲线有斜率,
一致连续就是函数
曲线斜率在整个考察范围内有界,函数在闭区间连续就在该区间一致连续,是其两端被限定后,斜率也就是有界的了,无法趋于无穷;反之,非一致连续其曲线斜率在区间上可以趋于无限大;...
如何区分
函数是连续的
还是不连续的?
答:
关于连续但不
一致连续的
例子如下:1、连续的定义是:如果对于任意小的正数ε,都存在一个正数δ,使得当x0处|x的差|<δ时,就有|f(x)的极限值-f(x0)|<ε,那么
函数
f(x)在点x0处连续。2、一致连续的定义是:如果对于任意小的正数ε,
都
存在一个正数δ,使得当x1和x2的差的绝对值|x1...
为什么
一致连续的函数
在I上
一定连续
呢?
答:
|f(x)-f(y)|<e,|f(y)-f(t)|<e ;则 |f(x)-f(t)|<=|f(x)-f(y)|+|f(y)-f(t)|<2e;也
就是
对任取的e>0,存在d'=d/2,当|x-t|<d',有 |f(x)-f(t)|<2e ;即f(x)在点t连续;由于点t是在I上任意选取一点,f(x)在I上连续。所以
一致连续函数一定连续
。
一致连续函数的
例子
答:
随便一个闭区间上的
连续函数都是一致连续函数
xsin(x^2)
连续
吗
答:
连续。连续很简单,随便取个点,求左右极限和原
函数
值即可。函数有
一定周期
性,有界性也可以证(上下浮动)。证明不
是一致连续
:f(x)=sin(x^2)=(1-cos2x)/2因为cos2x在R上可以取得唯一对应值,所以(1-cos2x)/2在r上可以是可以取得唯一对应值的,持续的。
函数连续
性的定义是什么?如何判定一个
函数是连续的
?
答:
1.函数连续性的定义:设函数f(x)在点x0的某个邻域内有定义,若 lim(x→x0)f(x)=f(x0), 则称f(x)在点x0处连续。若函数f(x)在区间I的每一点
都连续
,则称f(x)在区间I上连续。2.
函数连续必须
同时满足三个条件:(1)函数在x0 处有定义;(2)x-> x0时,limf(x)存在;(3)x-...
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