数学分析答:继续依次令 ,照以上方法得一闭区间列 ,其中每一个区间都含有 中除有限项外的所有项,且满足 ,, 即 是区间套.由区间套定理,存在唯一的一个数 ().现在证明数 就是数列 的极限.事实上,由区间套定理的推论, 当时,恒有 .因此在 内含有 中除有限项外的所有项,这就证得 .二 聚点定理与有限覆盖定理1 聚点...
用聚点定理证明单调有界定理答:存在n0,使得|an0-a0|<e,假设存在n1>n0使得|an1-a0|>e,则 an1>a0+e或者an1<a0-e,后者与单调性矛盾.而如果前者成立的话,则根据单调性,任取n>n1,|an-a0|>e,则{an}只有有限项在a0的临域N(a0,e)中,这和a0是聚点矛盾.所以假设不成立,即任取n>n0,|an-a0|<e 即an存在极限a0 ...