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m个n维向量是几行几列
A是
m
×n矩阵,为什么AX=0是
n维列向量
?
答:
因此,对于AX=0,零空间的维度等于n减去矩阵A的秩。由于AX=0表示一个方程组,这个方程组有可能有无穷多个解,也有可能只有零解。如果零空间的维度为n,表示方程组有非零解,也就是说存在
n维
的
列向量
X满足AX=0。总结起来,AX=0的解空间是矩阵A的零空间,它的维度等于矩阵A的列数n。因此,解空间...
为什么说n+1
个n维向量
必线性相关,怎么理解啊?
答:
以n+1
个n维向量
作为
列向量
构成的矩阵的秩不超过n (矩阵的秩不超过其行数和列数中小的那个)所以 r(A)<=n 所以 A 的列向量组的秩 <= n 即 n+1个n维向量 的秩 <=n 故线性相关。
设A
为m
*n矩阵,证明:若任一
个n维向量都是
AX=0的解,则A=0
答:
任取n个线性无关的
n维列向量
b1、…、bn,令B=(b1,…,bn),则B是可逆矩阵。因为Abi=0,所以AB=0,两边右乘B^(-1),可得A=0。
矩阵的秩是怎么定义的,以及为什么要这么定义
答:
矩阵的行秩和列秩相等(证明可利用n+1
个n维向量
必线性相关)矩阵的秩的几何意义如下:在n维线性空间V中定义线性变换,可以证明:在一组给定的基下,任一个线性变换都可以与一个n阶矩阵一一对应;而且保持线性;换言之,所有线性变换组成的空间End<F>(V)与所有矩阵组成的空间
M
(n)<F>是同构的。
范数有哪些类别?
答:
2-范数:║A║2 = A的最大奇异值 = ( max{ λi(A^H*A) } ) ^{1/2} (欧几里德范数,谱范数,即A^H*A特征值λi中最大者λ1的平方根,其中A^H为A的转置共轭矩阵);∞-范数:║A║∞ = max{ ∑|a1j|, ∑|a2j| ,..., ∑|amj| } (行和范数,A每一行元素绝对值之和的...
n维向量
空间V中向量的维数是否为n维?
答:
并且如果空间维数为n,则基向量的个数为n,从而元素的坐标由n个数组成,它构成一
个n维向量
,反之,一个n维向量,以此为坐标在给定的基下可以获得空间一个元素。故n维空间与n维向量集合之间一一对应,是同构的。不过你要说 R^n 的一个子空间(维数
m
< n),但里面的向量仍然用原来的基下的坐标来...
矩阵A
列向量
线性无关,其延伸组比线性无关为什么?延伸组是指列向量个数...
答:
增加
列向量
的个数, 列向量组会线性相关,比如增加一个全0的列。再比如增加第1列的向量,或A的列向量组的一个线性组合,都线性相关。增加
行向量
后,列向量组必仍线性无关。设A增加若干行向量后矩阵为B。A的列向量组线性无关 <=> AX=0 只有零解。BX=0比AX=0多了若干个方程, 即对未知量增加...
已知A^TA
为
对称矩阵,R(A)=n,对任意的
n维向量
a不
等于
0,有a^T(A^...
答:
a^T(A^TA)a=a^TA^TAa=(a^TA^T)(Aa)这里的加括号去括号用到的是矩阵的乘法,注意a也是一个n
行
1列的矩阵.再由脱衣原则a^TA^T=(Aa)^T,代入上式则a^T(A^TA)a=(Aa)^T(Aa).好了 马上出结论了 第三把Aa看成一个整体,由矩阵乘法知Aa是一
个n维列向量
.a^T(A^TA)a=(Aa)^T(Aa...
n维列向量
左乘
m
乘n矩阵以后,秩有什么变化
答:
秩=1或者0.因为相乘后得到了1个
m维向量
。它的秩必然=1或者0.
一个矩阵有
多少
个特征值和特征
向量
?
答:
定理2.实对称矩阵A的正(负)惯性指数就是它的正(负)特征值的个数.推论两个实对称矩阵合同的充分必要条件是它们的正(负)特征值的个数都相等.特征值 特征值,是线性代数中的一个重要概念,是指设A是n阶方阵,如果存在数m和非零
n维列向量
x,使得Ax=mx成立,则称
m是
A的一个特征值(characteristic...
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