如图（1），P为△ABC所在平面上一点，且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，则点P叫做△ABC的费马点．（1）如点P为

Question

如图（1），P为△ABC所在平面上一点，且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，则点P叫做△ABC的费马点．（1）如点P为锐角△ABC的费马点．且∠ABC=60°，PA=3，PC=4，求PB的长．（2）如图（2），在锐角△ABC外侧作等边△ACB′连结BB′．求证：BB′过△ABC的费马点P，且BB′=PA+PB+PC．（3）已知锐角△ABC，∠ACB=60°，分别以三边为边向形外作等边三角形ABD，BCE，ACF，请找出△ABC的费马点，并探究S△ABC与S△ABD的和，S△BCE与S△ACF的和是否相等．

Answer 1

（1）∵∠PAB+∠PBA=180°-∠APB=60°，
∠PBC+∠PBA=∠ABC=60°，
∴∠PAB=∠PBC，
又∵∠APB=∠BPC=120°，
∴△ABP∽△BCP，
∴

PA

PB

=

PB

PC

∴PB²=PA?PC=12，
∴PB=2

3

；


（2）证明：在BB'上取点P，使∠BPC=120°．连接AP，再在PB'上截取PE=PC，连接CE．

∠BPC=120°，
∴∠EPC=60°，
∴△PCE为正三角形，
∴PC=CE，∠PCE=60°，∠CEB'=120°．
∵△ACB'为正三角形，
∴AC=B′C，∠ACB'=60°，
∴∠PCA+∠ACE=∠ACE+∠ECB′=60°，
∴∠PCA=∠ECB′，
∴△ACP≌△B′CE，
∴∠APC=∠B′EC=120°，PA=EB′，
∴∠APB=∠APC=∠BPC=120°，
∴P为△ABC的费马点．
∴BB'过△ABC的费马点P，且BB'=EB'+PB+PE=PA+PB+PC．

（3）如下图，
作CP平分∠ACB，交BC的垂直平分线于点P，P点就是费马点；

证明：过A作AM∥FC交BC于M，连接DM、EM，

∵∠ACB=60°，∠CAF=60°，
∴∠ACB=∠CAF，
∴AF∥MC，
∴四边形AMCF是平行四边形，
又∵FA=FC，
∴四边形AMCF是菱形，
∴AC=CM=AM，且∠MAC=60°，
∵在△BAC与△EMC中，
CA=CM，∠ACB=∠MCE，CB=CE，
∴△BAC≌△EMC，
∵∠DAM=∠DAB+∠BAM=60°+∠BAM
∠BAC=∠MAC+∠BAM=60°+∠BAM
∴∠BAC=∠DAM
在△ABC和△ADM中
AB=AD，∠BAC=∠DAM，AC=AM
∴△ABC≌△ADM（SAS）
故△ABC≌△MEC≌△ADM，
在CB上截取CM，使CM=CA，
再连接AM、DM、EM （辅助线这样做△AMC就是等边三角形了，后边证明更简便）
易证△AMC为等边三角形，
在△ABC与△MEC中，
CA=CM，∠ACB=∠MCE，CB=CE，
∴△ABC≌△MEC（SAS），
∴AB=ME，∠ABC=∠MEC，
又∵DB=AB，
∴DB=ME，
∵∠DBC=∠DBA+∠ABC=60°+∠ABC，
∠BME=∠BCE+∠MEC=60°+∠MEC，
∴∠DBC=∠BME，
∴DB∥ME，
即得到DB与ME平行且相等，故四边形DBEM是平行四边形，
∴四边形DBEM是平行四边形，
∴S_△BDM+S_△DAM+S_△MAC=S_△BEM+S_△EMC+S_△ACF，
即S_△ABC+S_△ABD=S_△BCE+S_△ACF．

Answer 2

　　

　　证明：在BB′上取点P，使∠BPC=120°，

　　连接AP，再在PB′上截取PE=PC，连接CE，

　　∵∠BPC=120°，

　　∴∠EPC=60°，

　　∴△PCE为正三角形，

　　∴PC=CE，∠PCE=60°，∠CEB′=120°，

　　∵△ACB′为正三角形，

　　∴AC=B′C，∠ACB′=60°，

　　∴∠PCA+∠ACE=∠ACE+∠ECB′=60°，

　　∴∠PCA=∠ECB′，

　　∴△ACP≌△B′CE，

　　∴∠APC=∠B′EC=120°，PA=EB′，

　　∴∠APB=∠APC=∠BPC=120°，

　　∴P为△ABC的费马点，

　　∴BB′过△ABC的费马点P，且BB′=EB′+PB+PE=PA+PB+PC．

　　考点名称：等腰三角形的性质，等腰三角形的判定

　　定义：

　　有两条边相等的三角形，是等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。

　　等腰三角形的性质：

　　1.等腰三角形的两个底角度数相等（简写成“等边对等角”）。

　　2.等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高重合（简写成“等腰三角形的三线合一”）。

　　3.等腰三角形的两底角的平分线相等（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）。

　　4.等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。

　　5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。

　　6.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高（需用等面积法证明）。

　　7.等腰三角形是轴对称图形，只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴，等边三角形有三条对称轴。

　　8.等腰三角形中腰的平方等于高的平方加底的一半的平方

　　9.等腰三角形中腰大于高

　　10.等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰距离之差等于一腰上的高(需用等面积法证明)

　　等腰三角形的判定：

　　1.定义法：在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形。

　　2.判定定理：在同一三角形中，有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称：等角对等边）。

　　3.顶角的平分线，底边上的中分线，底边上的高的重合的三角形是等腰三角形。