如图(1),P为△ABC所在平面上一点,且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°,则点P叫做△ABC的费马点.(1)如点P为锐角△ABC的费马点.且∠ABC=60°,PA=3,PC=4,求PB的长.(2)如图(2),在锐角△ABC外侧作等边△ACB′连结BB′.求证:BB′过△ABC的费马点P,且BB′=PA+PB+PC.(3)已知锐角△ABC,∠ACB=60°,分别以三边为边向形外作等边三角形ABD,BCE,ACF,请找出△ABC的费马点,并探究S△ABC与S△ABD的和,S△BCE与S△ACF的和是否相等.
PA |
PB |
PB |
PC |
3 |
证明:在BB′上取点P,使∠BPC=120°,
连接AP,再在PB′上截取PE=PC,连接CE,
∵∠BPC=120°,
∴∠EPC=60°,
∴△PCE为正三角形,
∴PC=CE,∠PCE=60°,∠CEB′=120°,
∵△ACB′为正三角形,
∴AC=B′C,∠ACB′=60°,
∴∠PCA+∠ACE=∠ACE+∠ECB′=60°,
∴∠PCA=∠ECB′,
∴△ACP≌△B′CE,
∴∠APC=∠B′EC=120°,PA=EB′,
∴∠APB=∠APC=∠BPC=120°,
∴P为△ABC的费马点,
∴BB′过△ABC的费马点P,且BB′=EB′+PB+PE=PA+PB+PC.
考点名称:等腰三角形的性质,等腰三角形的判定
定义:
有两条边相等的三角形,是等腰三角形,相等的两条边叫做腰,另一边叫做底边,两腰的夹角叫做顶角,腰和底边的夹角叫做底角。
等腰三角形的性质:
1.等腰三角形的两个底角度数相等(简写成“等边对等角”)。
2.等腰三角形的顶角的平分线,底边上的中线,底边上的高重合(简写成“等腰三角形的三线合一”)。
3.等腰三角形的两底角的平分线相等(两条腰上的中线相等,两条腰上的高相等)。
4.等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。
5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。
6.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高(需用等面积法证明)。
7.等腰三角形是轴对称图形,只有一条对称轴,顶角平分线所在的直线是它的对称轴,等边三角形有三条对称轴。
8.等腰三角形中腰的平方等于高的平方加底的一半的平方
9.等腰三角形中腰大于高
10.等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰距离之差等于一腰上的高(需用等面积法证明)
等腰三角形的判定:
1.定义法:在同一三角形中,有两条边相等的三角形是等腰三角形。
2.判定定理:在同一三角形中,有两个角相等的三角形是等腰三角形(简称:等角对等边)。
3.顶角的平分线,底边上的中分线,底边上的高的重合的三角形是等腰三角形。