分块行列式的展开公式是什么样的？

Question

如题所述

Answer 1

分块行列式的展开公式是根据拉普拉斯定理得出的。假设有一个n阶分块行列式，其中每个分块都是一个方阵。展开公式如下：
对于n阶分块行列式：
$$
\begin{vmatrix}
A & B \\
C & D \\
\end{vmatrix}
$$
其中，A、B、C、D都是方阵，A是p阶方阵，D是q阶方阵，p+q=n。
展开公式为：
$$\begin{vmatrix}
A & B \\
C & D \\
\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}
A & 0 \\
C & I \\
\end{vmatrix} \cdot \begin{vmatrix}
I & A^{-1}B \\
0 & D-CA^{-1}B \\
\end{vmatrix}
$$
其中，I是p阶单位矩阵。
展开公式的含义是，将原始的分块行列式分解为两个独立的行列式的乘积。第一个行列式是左上角的A和右下角的D-CA^{-1}B的行列式。第二个行列式是左下角的C和右上角的A^{-1}B的行列式。
展开公式的应用可以简化计算分块行列式的过程，将其分解为两个较小的行列式进行计算。

Answer 2

分块行列式的计算公式可以通过以下步骤进行：

1. 将分块矩阵按照行或列进行展开。

a. 若是按行展开，则使用行展开公式，可记作：
| A B |
| C D | = | A 0 | | D -C |
| 0 I |

其中 A, B, C, D 分别是矩阵的分块部分，0 是指适当大小的零矩阵，I 是指适当大小的单位矩阵。

b. 若是按列展开，则使用列展开公式，可记作：
| A B |
| C D | = | A C | | D | | B |

其中 A, B, C, D 分别是矩阵的分块部分。

2. 对展开后的矩阵中的每个小矩阵计算行列式，然后按照展开的顺序进行乘法和加法运算。

按行或列展开分块矩阵，然后逐个计算小矩阵的行列式并进行运算，是分块行列式的计算公式的一般步骤。具体计算时，根据矩阵的具体形式和分块的方式进行展开运算。