自然数个数和整数个数是一样多的？怎么证明

Question

如题所述

Answer 1

这里是两个无穷多个元素的集合，所谓“一样多”：是指两个集合存在一个“一一对应”的函数。

设A={0,1,2,3,4,5,6,...................}

B={..........-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,.........}

现在把B排列成：0,1,-1,2,-2.3,-3,4.-4,.......n,-n,...........

现构成对应f：0→0,1→1,2→-1,3→2,4→-2............2n-1→-n,2n→n,.........

则f就是A到B的“一一对应”。

故自然数个数和整数个数是一样多。

自然数集N是指满足以下条件的集合：

①N中有一个元素，记作1。

②N中每一个元素都能在 N 中找到一个元素作为它的后继者。

③1是0的后继者。

④0不是任何元素的后继者。

⑤不同元素有不同的后继者。

⑥（归纳公理）N的任一子集M，如果1∈M，并且只要x在M中就能推出x的后继者也在M中，那么M=N。

Answer 2

这里是两个无穷多个元素的集合，所谓“一样多”：是指两个集合存在一个“一一对应”的函数。
设A={0,1,2,3,4,5,6,...................}
B={..........-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,.........}
现在把B排列成：0,1,-1,2,-2.3,-3,4.-4,.......n,-n,...........
现构成对应f：0→0,1→1,2→-1,3→2,4→-2............2n-1→-n,2n→n,.........
则f就是A到B的“一一对应”
故自然数个数和整数个数是一样多。