如何证明自然数是无限多个？

Question

如题所述

Answer 1

　　
　　一般地，证明一个与自然数n有关的命题P(n)，有如下步骤：
　　（1）证明当n取第一个值n0时命题成立。n0对于一般数列取值为0或1，但也有特殊情况；
　　（2）假设当n=k（k≥n0，k为自然数）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。
　　综合（1）（2），对一切自然数n（≥n0），命题P(n)都成立。
　　第二数学归纳法
　　数学归纳法的基本步骤：

　　对于某个与自然数有关的命题P(n)，
　　（1）验证n=n0时P(n)成立；
　　（2）假设n0≤n<k时P(n)成立，并在此基础上，推出P(k+1)成立。
　　综合（1）（2），对一切自然数n（≥n0），命题P(n)都成立。
　　倒推归纳法（反向归纳法）
　　（1）验证对于无穷多个自然数n命题P(n)成立（无穷多个自然数可以是一个无穷数列中的数，如对于算术几何不等式的证明，可以是2^k，k≥1）；
　　（2）假设P(k+1)（k≥n0）成立，并在此基础上，推出P(k)成立，
　　综合（1）（2），对一切自然数n（≥n0），命题P(n)都成立；
　　螺旋式归纳法
　　对两个与自然数有关的命题P(n)，Q(n)，
　　（1）验证n=n0时P(n)成立；
　　（2）假设P(k)（k>n0）成立，能推出Q(k)成立，假设 Q(k)成立，能推出 P(k+1)成立；综合（1）（2），对一切自然数n（≥n0），P(n)，Q(n)都成立。

　　数学归纳法：数学上证明与自然数N有关的命题的一种特殊方法，它主要用来研究与正整数有关的数学问题，在高中数学中常用来证明等式成立和数列通项公式成立。