找函数的不可导点

Question

求f(x)=｜(x-1)*(x-2)^2*(x-3)^3*.....(x-2015)^2015｜，关于不可导点我还有一个问题就是可不可导关键是看在这点有没有极限吧，但是我看的一本辅导书中他判断一点可不可导是看的该点的极限是不是等于该点的函数值，这样也是对的么，请解释一下

Answer 1

不可导点的筛查一般看不连续点或驻点。函数在某点不可导的根本条件是不满足左右导数相等，想要快速判断则有赖于平时判导经验。

对该函数求导，然后提取公因式、化简，就可以知道：在X=-1处该导数无意义，这就是不可导点。另外两个因式可以得到驻点是5和1/2。这三个值就是可能的极值点。最后按照单调性去讨论研判确认极值点。

Answer 2

Answer 3

只要研究f(x)的零点处的点是否可导即可。
记g(x)= (x-1)*(x-2)^2*(x-3)^3*.....(x-2015)^2015,
对于零点x=k, 只要g(x)在x=k左右邻域内不变号，则f(x)在x=k处即可导，反之则不可导。
因此不可导的点就是x=1,3,5, 7, ，，，，..2015. 奇数点上不可导。追问

那我看的那本辅导书判断不可导点的方法对不对？书上说该点的函数值等于该点的极限值就说明该点可导，但这不是是判断是否连续的条件么

追答

嗯，这样说肯定不对，那只是连续的判定条件，而不是可导的判定条件。
但可导首先得连续。

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Answer 4

不连续点一定是不可导点，另外分段函数的分界点也可能是不可导点【需判断左导数是否等于右导数】
显然当x>1或-1<x<0时，f(x)=x（x-1)(x+1)^2*(x-2).........（1）
当x≤-1或0≤x≤1时，f(x)=-x(x-1)(x+1)^2*(x-2)............（2）
函数分界点为x=-1，0，1，且都是连续点。
当x=-1时，左导数【x趋于-1（x<-1),由定义，按（2）式可求得】为0。
右导数为【按（1）求得】0，左导数等于右导数，故在x=-1处可导，导数为0
当x=0时，左导数为【按（1）式求得】2，右导数为【按（2）式求得】-2，左导数不等于右导数，x=0为不可导点
当x=1时，左导数为4，右导数为-4，左导数不等于右导数，x=1为不可导点

Answer 5

要保证函数可导，必须保证函数在某点的左导数，右导数都存在且相等
所以
如果函数不连续，那么函数肯定不可导
比如y=1/x,在x=0处函数不连续，在这点函数就不可导
如果函数连续，也要满足函数在某点的左导数，右导数都存在且相等
比如y=|x|
当x>0时，f（x）=x
当x<0时，f（x）=-x
所以函数在x=0处的右导数是1，左导数是-1
左，右导数不相等
所以函数在x=0处不可导