关于函数的不可导点

Question

函数f(x)的不可导点指的是什么？除了函数f(x)的间断点和一些连续但不可导点外，是不是还包括对应的导函数中无意义的点？
对，我说的无意义的点就像你说的那样，不过有个例子
f(x) = (x - 4)( x + 1)^(2/3)
f'(x) = 5(x - 1)/[3(x + 1)^(1/3)]
其中在x = -1为不可导点，但这个好像在原函数的有意义的吧，到了导函数就无意义不可导了，这是怎么回事呢？

Answer 1

总之就是导数不存在的点。
我不清楚你所指的“导函数中无意义的点”是那种。
是不是这种：
比如f(x)=lnx,f'(x)=1/x。那么x=0是f'(x)中无意义的点。
如果是的话，那也是不可导点。其实f(x)=lnx本身在x=0处就没有定义，当然谈不上在该点求导。

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导函数里x=-1无意义，要知道在-1点究竟可不可导，只有用定义做：
1.首先，易得函数在x=-1连续，这是可导的必要条件，因此可以继续讨论。
2.求左导数：
f'((-1)-)=lim{x->(-1)-}[f(x)-f(-1)]/[x-(-1)]
=lim{x->(-1)-}[(x - 4)( x + 1)^(2/3)]/(x+1)
=lim{x-<(-1)-}(x-4)/[(x+1)^1/3]
=正无穷
2.求右导数：
f'((-1)+)=lim{x->(-1)+}[f(x)-f(-1)]/[x-(-1)]
=lim{x->(-1)+}[(x - 4)( x + 1)^(2/3)]/(x+1)
=lim{x-<(-1)+}(x-4)/[(x+1)^1/3]
=负无穷

所以该点的导数不存在（或者说是无穷大）。
这就牵扯到学术界的问题了，我读书的时候，导数只要是“无穷大”就认为不存在，即该点不可导。不知现在的说法怎样。

另外我也用matlab软件画了画图，图像在x=-1点的确是垂直向下的，你也可以用matlab试试，就3句语句。
x=-1.1:0.00001:-0.9;
y=(x-4).*((x+1).^(2/3));
plot(x,y)

Answer 2

有以下几种：原函数在该点不连续或无意义、导函数在该点无意义，也就是该点切线斜率不存在或跟本无切线。还有种导函数在该点左右值不同。