线性代数 两个同型矩阵等价的充要条件是两个矩阵的秩相等。这个是对的吗？为什么？

Question

如题所述

Answer 1

对的。

矩阵等价的定义：若存在可逆矩阵P、Q，使PAQ=B，则A与B等价。所谓矩阵A与矩阵B等价，即A经过初等变换可得到B。

充分性：经过初等变换，秩是不改变的，即R(A)=R(PAQ)=R(B)。

必要性：设R(A)=R(B)=m,则A经过初等变换一定能化成最简型矩阵，这个最简型矩阵记作C。   C的秩为m。同样，B矩阵经过初等变换能化成一个最简型矩阵，因为B的秩是m，所以B化成的最简型也是C。也就是说，A与C等价，B与C等价，所以，A与B也等价。

Answer 2

对的。
矩阵等价的定义：若存在可逆矩阵P、Q，使PAQ=B，则A与B等价。所谓矩阵A与矩阵B等价，即A经过初等变换可得到B。
充分性：经过初等变换，秩是不改变的，即R(A)=R(PAQ)=R(B)。
必要性：设R(A)=R(B)=m,则A经过初等变换一定能化成最简型矩阵，这个最简型矩阵记作C。 C的秩为m。同样，B矩阵经过初等变换能化成一个最简型矩阵，因为B的秩是m，所以B化成的最简型也是C。也就是说，A与C等价，B与C等价，所以，A与B也等价。本回答被网友采纳

Answer 3

是的。同型矩阵等价则PAQ=B，所以r(B)=r(PAQ)=r(A),反之，由于A和B等秩，说明两者有相同的行最简型E11+E22+……+Err,即存在可逆矩阵P,Q,P'和Q'，有PAQ=P'BQ'=最简型，即
(P'-1P)A（QQ'-1)=B，所以A和B等价。本回答被网友采纳

Answer 4

[最佳答案]对的。 矩阵等价的定义:若存在可逆矩阵P、Q,使PAQ=B,则A与B等价。所谓矩阵A与矩阵B等价,即A经过初等变换可得到B。 充分性:经过初等变换,...