如何理解函数极限的定义？

Question

那请帮我分别介绍哪两种极限的意思，谢谢。我特别不理解的是那个a是什么

Answer 1

设函数f(x)在点x0的某一去心邻域内有定义，如果存在常数A，对于任意给定的正数

（无论它多么小），总存在正数

使得当x满足不等式

时，对应的函数值f(x)都满足不等式

那么常数A就叫做函数f(x)当

时的极限，记作

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函数极限的四则运算法则

设f(x)和g(x)在自变量的同一变化过程中极限存在，则它们的和、差、积、商(作为分母的函数及其极限值不等于0)的极限也存在，并且极限值等于极限的和、差、积、商。非零常数乘以函数不改变函数极限的存在性。

相关定理：夹逼定理

设L(x)、f(x)、R(x)在自变量变化过程中的某去心邻域或某无穷邻域内满足L(x)≤f(x)≤R(x)，且L(x)、R(x)在自变量的该变化过程中极限存在且相等，则f(x)在该自变量的变化过程中极限也存在并且相等。

Answer 2

数学中的“极限”指：某一个函数中的某一个变量，此变量在变大（或者变小）的永远变化的过程中，逐渐向某一个确定的数值A不断地逼近而“永远不能够重合到A”的过程中，此变量的变化，被人为规定为“永远靠近而不停止”、其有一个“不断地极为靠近A点的趋势”。

广义的“极限”是指“无限靠近而永远不能到达”的意思。

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解决问题的极限思想：

“极限思想”方法，是数学分析乃至全部高等数学必不可少的一种重要方法，也是‘数学分析’与在‘初等数学’的基础上有承前启后连贯性的、进一步的思维的发展。

数学分析之所以能解决许多初等数学无法解决的问题（例如求瞬时速度、曲线弧长、曲边形面积、曲面体的体积等问题），正是由于其采用了‘极限’的‘无限逼近’的思想方法，才能够得到无比精确的计算答案。

人们通过考察某些函数的一连串数不清的越来越精密的近似值的趋向，趋势，可以科学地把那个量的极准确值确定下来，这需要运用极限的概念和以上的极限思想方法。 用极限的思想方法是有科学性的，因为可以通过极限的函数计算方法得到极为准确的结论。

参考资料来源：百度百科-极限

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Answer 3

在数学分析中，极限的证明往往是用ε-δ语言来证的，而这种证明方式，也是分析数学的最精髓的地方。在下愚钝，在大学毕业之后才慢慢领会这种证明方式的奥妙。ε-δ语言的主要表现方式是，对于函数f(x)在x0的邻域内，对于任意正数ε,δ，有|x-x0|<δ，且|f(x)-A|<ε，则称当x趋近x0时，f(x)趋近于A。这个定义的最大特点是，f(x)在x0处可以没有定义，但当x无限接近x0时，f(x)无限接近某一个数A。而ε-δ语言最难理解的，无非就是ε，δ这两个任意正数，在证明的过程中，也经常会看到很多习题中会用2ε，ε/2等（注：吉米多维奇是一套不错的习题，对于数学分析入门很有帮助，但若已入门，个人觉得，吉米多维奇更适合理科非数学专业做数1用）。其实我个人感觉，这里的ε，δ就是无穷小，或理解为无限接近，这两个无穷小仅仅是符号标示的不同，其本质都是一样的。但无穷小不是0，最浅显的例子就是f(x)=(x^2-4)/(x-2)，这里x不能等于2，但当x无限接近2的时候，f(x)无限接近4。也就是说，点(x,f(x))只能无限接近(2,4)，但两点不能重合，如何说明这个无穷小呢？我就随便找一个任意小的正数δ，使得x与2的距离总是比它小，再随便找一个任意小的正数ε，使得f(x)与4的距离总比ε小。
至于2ε是不是无穷小，这个问题可以说是在牛顿和莱布尼茨创立微积分学说后，引发的第二次数学危机的一个问题，2ε是无穷小，那么3ε，4ε，……十万乘以ε还是不是无穷小呢？（见谷堆悖论）直到后来康托创立集合论，才解决了第二次的数学危机。如果楼主是读数学系，等以后学实变函数的时候，包括勒贝格的测度论，就会对这里领会得更为透彻。（ps：康托是个非常了不起的数学家，尽管罗素悖论引发了第三次的数学危机，以及后世人如ZF公理对康托集合论进行补充，但仍不掩康托的伟大。不得不说，康托到目前为止是不可超越的。)

Answer 4

你给出的是自变量趋于正无穷大时的函数极限概念，这个概念要与自变量趋于一点时函数极限的定义进行区分，不过其实本质没有什么不同。极限表现的是一种变化过程中的无限接近的性质，直观上理解就是函数值和极限值“任意小”的差别都可以在自变量“足够大”时实现。一个量是要求可以任意的小，另一个量是只要存在一个就可以了。本回答被提问者和网友采纳

Answer 5