如何理解函数的极限的概念？

Question

如题所述

Answer 1

函数的极限是数学中的一个重要概念，用于描述函数在某个特定点或无穷远处的趋势和性质。可以通过以下几个方面来理解函数的极限：
1. 趋近某个值：当自变量（通常用x表示）逐渐接近某个特定的值（通常用a表示），函数的值（通常用f(x)表示）也会逐渐接近一个特定的值L。这时可以说函数的极限存在，并记作lim(x→a) f(x) = L。这意味着在自变量无限接近a的过程中，函数的取值无限接近L。
2. 邻域中的行为：函数的极限还可以通过研究自变量在某个点a的邻域内的行为来理解。当自变量足够靠近a时，函数的取值会趋近于某个值L。这可以看作是函数在点a附近的局部趋势。
3. 无穷远处的趋势：函数的极限还可以描述自变量趋向无穷大或无穷小时函数的行为。当自变量趋向正无穷大时，如果函数的值趋近于一个特定的值L，可以表示为lim(x→∞) f(x) = L。这意味着在自变量无限增大的过程中，函数的取值无限接近L。类似地，当自变量趋向负无穷大时，如果函数的值趋近于L，可以表示为lim(x→-∞) f(x) = L。
4. 逼近性质：函数的极限还可以用来描述函数与一条直线或其他曲线的逼近关系。例如，当自变量趋向某个点a时，函数的值逼近于一条直线或其他曲线，可以认为函数在该点处有极限。
总之，函数的极限概念用于描述函数在特定点或无穷远处的趋势和性质。它可以通过自变量趋近某个值、邻域中的行为、无穷远处的趋势以及逼近性质来理解。函数的极限有助于我们研究函数的性质、计算导数和积分，以及解决各种数学问题。

Answer 2

用多元函数极限的定义证明：

解题思路：在f(x,y)图像上找一点a(0,0)，在点a之间划定一个很小的区域b(-ξ，ξ)，a在这个区域里面，而且这个b区域在函数的值域里，我们要在定义域里找到和b区域对应的区域c，让它们值一一对应上，区域c在函数的定义域里面，设这个c区域的中心是P，设以P为中心的去心邻域U'(P,δ)作为c区域，关键是找到c区域

题目中ξ是任意给定的正数，函数化简后令|1/2(√x^2+y^2)|＜ξ，即函数划定了一个区域(-ξ，ξ)，根据定义，要在定义域里找到对应的区域U'(P,δ)，题目中定义域里令 (x,y)->(0,0)，于是定义域里两点之间的距离=√x^2+y^2，和化简后的函数很相似，假定这个距离在U'(P,δ)里，且0＜(√x^2+y^2)＜δ，再令δ=2ξ，定义域的区域0＜(√x^2+y^2)＜δ就能和值域的区域|1/2(√x^2+y^2)|＜ξ 一一对应上了。即是在某一定义域的邻域里趋近于一个点，在函数的值域的(-ξ，ξ)区域里能趋近一个点，这个点就是极限。