为什么收敛数列一定是有界数列?

Question

不要说得太深奥.
但希望可以让我明白

Answer 1

因为数列收敛，设，由定义，对于，存在正整数，

n>N时，都有 (n>N)，从而有 。

取，则对一切的n，都有，所以数列有界。

根据定理2，如果数列无界，则数列一定是发散的。但必须注意：有界数列不一定收敛。例如，数列是有界的。因为，但它却是发散的(见例4)。可见,数列有界是数列收敛的必要条件，但不是充分条件．

Answer 2

因为数列xn收敛，设xn收敛于a,根据数列极限的定义，对于ε=1，e正整数n，当n>n，不等式/xn-a/<1都成立。于是，当n>n，
/xn/=/(xn-a)+a
/
<=
/
xn-a
/
+
/
a
/
<1+
/
a/
取m=max（
/
x1
/
,
/
x2
/
,…….
/xn/,1+
/
a
/
），那么数列xn的一切xn都满足不等式/xn/<=m
这就证明了数列xn是有界的