为什么说收敛数列一定是有界数列？？

Question

如题所述

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Answer 2

如果你取一个数列an = 1/n，它显然收敛，而且最大值在n = 1的地方。
可以补充这么一个看起来很怪异，但是细细一想又很显然的引理：
对于给定的数列，假若任给一个实数p，总存在一个正整数N，使得|aN| > p，那么进一步地，对于任意给定的N0，一定可以找到这样一个N*，使得它既满足|aN| > p，又满足N* > N0。
换句话说，要是数列某个地方趋于无穷大了，这个地方必然在无穷远处。
对于任意数列，任意给一段有限长区间，则这段区间上必有界。

原因很显然。数列不像函数，数列能取到的值是有限的。所以只要给出一个有限长的区间，我总能一个一个顺着找到最大值最小值。因而数列要出现无穷大的趋近，只能在无穷远出，因为此时这段区间上有无穷多个点，从而不能一个一个去找最值了。