高数无穷小运算规则证明

Question

如题所述

Answer 1

严格的说，遇到小o的地方应理解为集合的运算，
比如o(f(x))+o(f(x))=o(f(x))，表示为
从第一个集合中任取一个元素，记为g1(x)，即lim
g1(x)/f(x)=0;
从第二个集合中任取一个元素，记为g2(x)，即lim
g2(x)/f(x)=0；
则g1(x)+g2(x)属于第三个集合，即
必有lim
(g1(x)+g2(x))/f(x)=0。
因此o(x^2)=o(x)是正确的。
比如f(x)+o(g(x))=o(h(x))写法也是允许的，表示
从o(g(x))这个集合中取元素，记为f2(x)，则
f(x)+f2(x)是位于o(h(x))这个集合。

Answer 2

o(f(x))表示f(x)的高阶无穷小。g(x)=o(f(x))
：表示
limf(x)=0,limg(x)=0
(即f(x),g(x)都是无穷小)且lim
g(x)/f(x)
=0
1、设g(x)=o(f(x))
,h(x)=o(x),则
lim[g(x)+h(x)]/f(x)
=limg(x)/f(x)
+
limh(x)/f(x)
=0
极限的四则运算法则
所以g(x)+h(x)
=o(f(x))
从而o(f(x))+o(f(x))=o(f(x))。即f(x)的两个高阶无穷小的和，仍是f(x)的高阶无穷小。结论可以推广到有限个
2、通常：o(x²)=o(x)不成立。

Answer 3

有限个无穷小相加、相减、相乘还是无穷小
无穷小与有界函数的乘积还是无穷小
无穷小除以一个极限非零的函数还是无穷小
乘积的某个因子可以换成等价无穷小，和式中的某一部分不能替换
例如：x→0，tanx－sinx中的tanx和sinx都不能换成x，但是化简tanx－sinx＝tanx(1-cosx)后，tanx和1-co骇耿粪际荼宦讽为釜力sx都可替换