高数 等价无穷小数 a^x-1=xlna 的证明

Question

老师是这样整的 看不懂 求解释

令y=a^x-1，又令x=log a（y+1）

Answer 1

证明如下：

e^x~x

lim（x→0）(a^x-1)/xlna=lim（x→0）(e^xlna-1)/xlna

设t=xlna

当x→0，t→0

所以原式=lim（t→0）e^t-1/t=t-1/t=1

所以a^x-1的等价无穷小是xlna

等价无穷小的意义：

等价无穷小一般只能在乘除中替换，在加减中替换有时会出错（加减时可以整体代换，不一定能随意单独代换或分别代换）。

被代换的量，在取极限的时候极限值为0；被代换的量，作为被乘或者被除的元素时可以用等价无穷小代换，但是作为加减的元素时就不可以。

Answer 2

^lim(x->0) (a^x-1)/xlna

令a^x-1=t

x=loga(1+t)

所以原式=lim(t->0) t/【loga(1+t) ×lna】

=lim(t->0) t/【ln(1+t) 】

=lim(t->0)1/【ln(1+t)^(1/t) 】

=1/lne

=1/1

=1

所以等价。

例如：

把a^x-1在0点进行泰勒展开

a^x-1=1+xlna+o（x^2）

lim(a^x1)/xlna=lim(xlna+o(x^2))/xlna=1

所以是等价无穷小量

扩展资料：

求极限时，使用等价无穷小的条件 ：

被代换的量，在取极限的时候极限值为0；

被代换的量，作为被乘或者被除的元素时可以用等价无穷小代换，但是作为加减的元素时就不可以。

有界函数与无穷小量之积为无穷小量。

特别地，常数和无穷小量的乘积也为无穷小量。

恒不为零的无穷小量的倒数为无穷大，无穷大的倒数为无穷小。

参考资料来源：百度百科-等价无穷小

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