一道行列式计算题1.计算下列行列式 x y 0...0 00 x y...0 0...

Question

一道行列式计算题 1.计算下列行列式 x y 0...0 0 0 x y...0 0 . 0 0 0...x y y 0 0...0 x 2.设A B为n阶方阵,满足ATA=AAT=E,BTB=BBT=E及|A|+|B|=0,求|A+B|,T是转置矩阵的符号

Answer 1

1.这个行列式可按行列式的定义或展开定理直接得出结果
D
=
x^n
+
(-1)^t(234...n1)y^n
=
x^n
+
(-1)^(n-1)
y^n
2.由已知,|A|^2=|B|^2
=
1
所以
|A|,|B|
等于
1
或
-1
因为
|A|+|B|=0
所以
|A||B|=
-1
所以有
|A+B|
=
-
|A||A+B||B|
=
-
|A^T||A+B||B^T|
=
-
|A^TAB^T+A^TBB^T|
=
-
|B^T+A^T|
=
-
|(A+B)^T|
=
-
|A+B|.
所以
|A+B|
=
0.