如何证明单摆是简谐运动

Question

如题所述

Answer 1

如果一个运动微分方程可以为     x''+ω^2*=0  的形式，其中x''为位移（或角位移）的二阶导数，即加速度（或角加速度）；x为位移（或角位移）；

ω为常数。则该运动被称为简谐振动（运动）。

 

mg与绳拉力T的合力F是小球m对于平衡位置的回复力，有

运动微分方程：

am=-mgsinθ  （"-"号是因为F的方向与θ角增大的方向相反）  

a=εL=θ''L

则 θ''+gsinθ/L=0  (1)

 

上式中的sinθ，只有当θ很小（微幅振动）时，sinθ=θ。

此时将（1）式改写为：

   θ''+(g/L)θ=0 

设 ω^2=g/L

则 θ''+ω^2θ=0   (2)  ---> 符合简谐振动微分方程x''+ω^2*=0  的形式

--->只有当θ很小（微幅振动）时是简谐振动。

 

θ不是很小时，可以叫单摆运动，但不是简谐运动。

“摆偏角最大时”是指 θ=90°吧，此时，绳拉力T=0，向心力为0，是个临界点，小球m切向加速度大小由(1)式计算 a=g（也可以直接判断），可以向平衡位置运动。