如何证明多边形的面积比等于相似比的平方啊 这说的是相似的多边形 求高手解决下啊 看的懂的那种 谢谢了啊

Question

如题所述

Answer 1

方法如下：
把n边形从一个顶点出发，把n边形分成（n-2）个三角形
此时：
设多边形与多边形一瞥的相似比=k
对应的三角形都相似，且相似比=k，面积比=k²【这个是三角形的性质不必说了吧】
设：对应三角形的比=k
对应三角形的面积比=k²
于是得到：
s1/s1'=s2/s2'=s3/s3'=................=s(n-2）/s(n-2)'=k²
利用等比性质：所有分子相加/所有分母相加=k²
即：多边形的面积/多边形一瞥的面积=k²

应该可以看懂了吧，这里采用化整为零的方法，看不懂再追问追问

这种做法 在不是正多边形的情况下会不会没法用 ？？？ 给下QQ 还有很多不懂的 谢谢

Answer 2

可以归结为三角形的情形。
以四边形为例，设两个四边形ABCD和A‘B'C'D'相似(简单起见，设为凸四边形)，相似比为k(前者比后者).
考虑两个三角形ABC和A'B'C', 由相似形的定义可知∠B=∠B'，AB:A'B'=k=BC:B'C'. 这样△ABC∽△A'B'C'，且相似比为k, 所以前者与后者面积比=k^2.
同理，△ABC面积:△A'B'C'面积=k^2. 再用一下和比定理(a:b=k=c:d推出(a+c):(b+d)=k)即可。
对于一般多边形，方法类似，可以划分成若干三角形来证。

Answer 3

思路如下：
多边形可以划分为多个三角形，
先证明三角形的面积比=相似比的平方
相似多边形的面积比=相似三角形的面积比=相似比的平方

1：三角形的面积=底×高÷2
假设两个三角形相似
其底和高分别为b1、b2和h1、h2
因为两个三角形相似，其相似比为s
则b1:b2=s h1:h2=s
所以三角形的面积比为
三角形的面积比=(b1×h1÷2)/(b2×h2÷2)=s×s=s^2
所以三角形的面积比=相似比的平方=s^2

2：因为多边形可以划分为多个三角形，两个相似的多边形按照同样的划分方法能划分为同样个数的三角形，且其相似比都是同一个数字，假设为s
假设多边形可以划分为n个三角形
多边形A可以划分的n个三角形的面积依次为Sa1、Sa2、Sa3…………San，多边形A的面积为SA
多边形B的可以划分n个三角形的面积依次为Sb1、Sb2、Sb3…………Sbn，多边形B的面积为SB
Sa1:Sb1=s^2、Sa2:Sb2=s^2、Sa3:Sb3=s^2、…………San:Sbn=s^2
SA:SB=(Sa1+Sa2+Sa3+…………+San):(Sb1+Sb2+Sb3+…………+Sbn)
=(s^2×Sb1+s^2×Sb2+s^2×Sb3+…………+s^2×Sbn):(Sb1+Sb2+Sb3+…………+Sbn)
=s^2×(Sb1+Sb2+Sb3+…………+Sbn):(Sb1+Sb2+Sb3+…………+Sbn)
=s^2

相似多边形的面积比=相似比的平方=s^2