一道高数题,关于极限的。求Ln(1+ax)/x 的极限,x趋近于零。求Ln(1+ax)/x 的极限,x趋近于零。

尤其是求极限的函数中含有对数这一类题。。。有没有什么转换的公式。。。还有就是极限中的三角函数是不是就已经默认了x的取值是一个周期o-π?例:f(x)=arctan1/(1-x),求x趋近于1—时f(x)的极限,x趋近于1+时f(x)的极限。。。

对于求lim[Ln(1+ax)/x ],只需要求(1+ax)/x的极限,
由于(1+ax)/x的极限为a,所以Ln(1+ax)/x 的极限为ln a

当x趋近于1-时,1/(1-x)趋近正无穷大,而arctan y,y趋向于正无穷大时,arctan y趋近于PI/2,所以当x趋近于1-时,arctan1/(1-x)趋近于PI/2。
当x趋近于1+时,1/(1-x)趋近负无穷大,而arctan y,y趋向于负无穷大时,arctan y趋近于-PI/2,所以当x趋近于1+时,arctan1/(1-x)趋近于-PI/2。

综上,一般的方法就是先计算函数内的极限,在讲计算后的值代入函数,得到最后的极限
另外,每个反三角函数都有固定的x的范围,比如arctan函数,x的范围是从负无穷大到正无穷大。对于普通三角函数,也是一样的。arcsin/arccos函数,x从-1到1追问

第一:(1+ax)/x 的极限不是a,因为x是趋近于0。
第二:x趋近于0,(1+ax)/x 的极限怎么算。
第三:我写错题了。应该是求{ln(1+ax)}/x的极限,x趋近于0。不好意思,我勒错。
第四:当x趋近于0时,e的-x^2—1与x^2的无穷小的阶的比较。怎么计算,是不是有关于e的转换公式?

追答

那是我搞错了

第二, x趋近于0,(1+ax)/x,如果 x趋近+0,那么极限无穷大,如果x趋近-0,极限负无穷大
因为分子不为0,而分母趋于0,所以极限趋向正负无穷大

第三:{ln(1+ax)}/x 的极限, 此时,我们会发现, 分子分母都趋向于0,那么可以上下求导数,
ln(1+ax)的导数为a/(ax+1), x 的导数为1
所以就变成了求 (a/(ax+1)) / 1的极限,当x趋向0,结果为1

第四点 e ^(-x^2) - 1趋向于0, x^2趋向于0,那么只要对它们求导
前者求导,得到-2xe ^(-x^2) ,后者求导,得到2x,还是都去趋向于0
继续求道,前者4x^2e ^(-x^2) - 2e ^(-x^2) ,极限-2;后者求导得到2,都不为0,所以无穷小的阶是一样的

第五,我说的方法仅适用于lim后面的函数单独成一项的时候,如果函数在分子分母上,那么上下极限不同时为0或同时为无穷大时才实现,你说的对数的例子是对的

第六,是因为你对反三角函数取值范围不清楚,arctan规定其结果在π/2和-π/2之间,不考虑+2nπ的情况

追问

第二:明白了。
第三:也明白了,但是答案你算错了,应该是a。呵呵
第四:也明白了,用的是洛必达法则。
第五:也明白了。
第六:也明白了。我已又复习了一遍反三角函数的定义域和值域。
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谢谢你帮我解决了这么多问题。
嗯,我没学过高数。是想升本,所以在自学高数。
我一直在修改悬赏分,可确定不了。想补充问题一样,也是一直确定不了。无奈了。。。。。。

追答

谢了!我也是老早以前学的了,难免出错,那你学起来想必会遇到很多困难,自学高等数学不容易的。那时候我们只要落一节课就听不懂了。

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第1个回答  2011-03-03
含对数的有以下一些方法:
1.ln(1+x)这种的,x->0,可以用等价无穷小代换成x
2.如果是0比0形或者无穷比无穷,而且比较容易求导的,可以用罗比达法则
一般的题目主要就是这两种方法结合着用
arctan x是个比较特殊的函数,x->正无穷时,极限是二分之pai,x->负无穷时,极限是负二分之pai
第2个回答  2011-03-02
limLn(1+ax)/x =Ln[lim(1+ax)^(1/x)]=ln(e^a)=a
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