利用高斯公式计算曲面积分,∫∫(x^3-yz)dydz-2x^2ydzdx+zdxdy,其中E为x^2+y^2=R^2

Question

在z=0和z=1之间部分圆柱面的外侧。答案为πR^4/4

Answer 1

两问都用高斯公式，令P=x^3-yz，Q=-2yx^2，R=2z，则P'x=3x^2，Q'y=-2x^2，R’z=2，根据高斯公式∫∫∫(Pdydz Qdzdx Rdxdy)=∫∫∫(P‘x Q'y R'z)dxdydz，所求积分=∫∫∫(x^2 2)dxdydz，第一问，很明显x,y,z的积分限都是0到a，因此积分=∫dz∫dy∫(x^2 2)dx=(a^5)/3 2a^3。第二问，由于x^2 y^2=R^2对x和y有轮换对称性，故∫∫∫x^2dxdydz=∫∫∫y^2dxdydz，所以由柱面和两个底面构成的闭曲面上的积分=∫∫∫[(x^2 y^2 4)/2]dxdydz，用柱坐标计算，=∫dz∫dθ∫[(r^3 4r)/2]dr（r积分限0到R，θ积分限0到2π，z积分限0到1）=π(R^4/4 2R^2)。而两个底面上的积分分别等于0和∫∫2dxdy=2πR^2，所以原积分=π(R^4/4 2R^2)-2πR^2=(πR^4)/4。