求下列向量组的极大线性无关组与秩

Question

α1=(2,1,3,0)α2=( 0,2,-1,0),α3=(14,7,0,3),α4=(4,2,-1,1)α5=(6,5,1,2)

Answer 1

根据题意的到A= （ 1 2 0 2 0 -4 -4 -2 0 k+2 5 4 0 -2 -2 -3) 当K=0时，r（A）=4极大无关组为本身，与题意不符，舍去 当k≠0时，阶梯形矩阵为 （ 1 2 0 2 0 -4 -4 -2 0 0 12-4k 12-2k 0 0 0 -4 ）；

题意得A为不可逆矩阵，所以IAI=0，1*（-4）*（12-4k）*（-4）=0 k=3 当K=3时，r（A）=3，A= （ 1 2 0 2 0 -4 -4 -2 0 0 0 6 0 0 0 -4 ） A=（a1,a2,a3,a4） 

则极大无关组为B=（a1，a2,a4） a3=(-2)*a1+1*a2+0*a4。

扩展资料：

一个向量组的极大线性无关组是其最本质的部分, 对许多问题的研究起着非常重要的作用。如确定矩阵的秩, 讨论线性方程组的基础解系等。

设V是域P上的线性空间，S是V的子集。若S的一部分向量线性无关，但在这部分向量中，加上S的任一向量后都线性相关，则称这部分向量是S的一个极大线性无关组。V中子集的极大线性无关组不是惟一的，例如，V的基都是V的极大线性无关组。

它们所含的向量个数（基数）相同。V的子集S的极大线性无关组所含向量的个数（基数），称为S的秩。只含零向量的子集的秩是零。V的任一子集都与它的极大线性无关组等价。特别地，当S等于V且V是有限维线性空间时，S的秩就是V的维数。

Answer 2

(α1^T,α2^T,α3^T,α4^T,α5^T)
2 0 14 4 6
1 2 7 2 5
3 -1 0 -1 1
0 0 3 1 2

r1-2r2,r3-3r2
0 -4 0 0 -4
1 2 7 2 5
0 -7 -21 -7 -14
0 0 3 1 2

r1*(-1/4),r3*(-1/7)
0 1 0 0 1
1 2 7 2 5
0 1 3 1 2
0 0 3 1 2

r3-r1-r4
0 1 0 0 1
1 2 7 2 5
0 0 0 0 -1
0 0 3 1 2

交换行
1 2 7 2 5
0 1 0 0 1
0 0 3 1 2
0 0 0 0 -1

α1,α2,α3,α5 是一个极大无关组, 向量组的秩为4.本回答被提问者采纳

Answer 3

解：
α1^T，α2^T，α3^T，α4^T，α5^T
2 0 14 4 6
1 2 7 2 5
3 -1 0 -1 1
0 0 3 1 2

r1<--->r2
1 2 7 2 5
2 0 14 4 6
3 -1 0 -1 1
0 0 3 1 2

r2-2r1，r3-3r1
1 2 7 2 5
0 -4 2 0 -4
0 -7 -21 -7 -14
0 0 3 1 2

(r2)/(-2)，(r3)/(-7)，
1 2 7 2 5
0 2 -1 0 2
0 1 3 1 2
0 0 3 1 2

r2-2r3，r3-r4
1 2 7 2 5
0 0 -7 -2 -2
0 1 0 0 0
0 0 3 1 2

r2<--->r3，r3<--->r4
1 2 7 2 5
0 1 0 0 0
0 0 3 1 2
0 0 -7 -2 -2

r4+(r3)×(7/3)
1 2 7 2 5
0 1 0 0 0
0 0 3 1 2
0 0 0 1/3 8/3

因为R(α1，α2，α3，α4)=R(α1，α2，α3，α4，α5)=4
所以α1，α2，α3，α4是一个最大线性无关组
秩为4本回答被网友采纳