高数有关洛必达法则运用的证明题（附图），小弟将不明白处已用横线标出，疑问也在图片中，求大神解惑

Question

图有些小，可能需要放大一下

关于错误解法还有一问：是不是因为无法确定一阶导所表示的分子在h趋近于0时的值为0，这种情况下再次使用洛必达法则就有问题了？我想应该不是这样子的，因为既然f(x)的二阶导数存在，那么它的一阶导数也是存在的而且是连续的，所以那个分子在h趋于0时是等于0的，所以不是“错误解法”。我这样分析对吗？

Answer 1

f''(x)存在,说明在a->0时, [f'(x+a)-f'(x)]/a -> f''(x).

左式=lim_{h->0}[2f'(x+2h)-2f'(x+h)]/(2h)=lim_{h->0}[2f'(x+2h)-2f'(x)]/(2h) + lim_{h->0}[2f'(x)-2f'(x+h)]/(2h)
=2lim_{h->0}[f'(x+2h)-f'(x)]/(2h) - lim_{h->0}[f'(x+h)-f'(x)]/h
=2f''(x) - f''(x)
=f''(x)

正确做法如上.

第一张图中,楼主划线处有纰漏, 导数定义中的被减项是个固定项,不能随着h的改变而变化.
因此, h->0时, [f'(x+2h)-f'(x+h)]/(2h) 的极限不是 f''(x+h).

第二张图中, f''(x+2h)和f''(x+h)不能保证存在. 因此,不能第二次应用洛必达法则.

Answer 2

在这里，f''(x)存在，其中x是特定的值，不具有任意性。于是f'(x+h)都是存在的，但f''(x+h)未必存在。故只能用一次罗比达法则，不能用第2次。
本题把x还成a就更明白。
在划线处：是用导数的定义：严格讲，可以在分子加减f'(x).