高数如果f(x)在x0的去心领域可导，但导数的x0的左右极限不相等，f(x)在x0的左右导数时可用洛必达法则吗？

Question

f(x)在x0处连续。

Answer 1

在题目中的条件下，求左右导数时，可以用罗必塔法则。罗必塔法则的条件是求两种未定式的极限时，如果导数之比的极限存在(或为无穷大)，那么未定式的极限等于导数之比的极限。下面以右导数为例说明:右导数f'(x0+0)=lim(x–＞x0+)[f(x)–f(x0)]/x–x0,由于f(x)在x0处连续，这个极限是0/0型未定式，用罗必塔法则，f'(x0+0)=lim(x–＞x0+)f'(x),根据条件，导数在x0的右极限是存在的，所以罗必塔法则的条件满足。左导数的情形是一样的。

Answer 2

证明就是了：
（1）仅证f(x)在x0这一点左导数存在的情形：此时极限
lim(x→x0-0)[f(x)-f(x0)]/(x-x0) = f'-(x0)
存在，于是
lim(x→x0-0)f(x) =f(x0)+lim(x→x0-0){[f(x)-f(x0)]/(x-x0)}*(x-x0) = f(x0)，
即f(x)在x0左连续。
右导数存在的情形类似证明。
（2）是可导的充要条件。
注：以上证明不管f(x)是否为分段函数都成立。