奇函数在原点的二阶导数一定是0吗？

如题所述

推荐答案 2020-06-21

如果二阶导存在，可以这么说。
定义奇函数：f(x) = -f(-x)
两边求导：f'(x) = f'(-x)
再次求导：f''(x) = -f''(-x) = -f''(x) (原点处二阶导存在条件，左二阶导 = 右二阶导）
所以，f''(x) = 0

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第1个回答 2020-06-21

若在x0处存在二阶导，则x0处一阶导数可导，即x0的充分小领域内一阶导数必定存在，则x0的充分小领域内原函数必定可导，故原函数在x0的充分小领域内必定连续。
特别地，x0处一阶导数存在并不能推出原函数在x0的充分小领域内连续。反例是：D（x）*x^2，其中D为dirichlet函数。容易看出这个函数在0处导数存在，但是在0的任意一个充分小领域内不连续。

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