求解二阶非线性微分方程

Question

y''+3xy'+2y=5x y(0)=1 y'(0)=2

Answer 1

可用幂级数解法，根据初值，设：
y(x)=1+2x+a2x^2+a3x^3+...+anx^n+...
则
y'(x)=2+2a2x+3a3x^2+....+nanx^(n-1)+....
y"(x)=2a2+6a3x+12a4x^2+...+n(n-1)anx^(n-2)+...
代入原方程得：
(2a2+2)+x(6a3+6+4)+x^2(12a4+6a2+2a2)+.....+x^n[(n+2)(n+1)a(n+2)+(3n+2)an]=5x
对比系数得：
2a2+2=0, 得：a2=-1
6a3+6+4=5, 得：a3=-5/6
12a4+8a2=0, 得: a4=2/3
....
(n+2)(n+1)a(n+2)+(3n+2)an=0, 得：a(n+2)=-(3n+2)/[(n+2)(n+1)]* an
由此即可得所有系数an.

Answer 2

如果y‘前面没得X就好了
如果y‘’前面再有个x^2就好了