那应该怎么算比较简单?
追答一是求原函数:arctan(y/(2x))是原函数。注意到原函数在x=0的地方不可微,因此
积分时的上下限就要以之为分界点。比如本题,在y轴上去点
E(0,-1),F(0,1)。则
先计算从A到E的积分值是lim arctan(y/(2x))-arctan(0/(2*-1))
=pi/2。注意,此式取极限时要求y趋于-1,x从小于0的地方趋于0,
因此y/(2x)是趋于正无穷,极限是pi/2。
再计算从E到F的积分,取极限是也要注意正负号,
在E点时y趋于-1,x从大于0的方向趋于0,因此极限是-pi/2,
F点y趋于1,x从大于0的方向趋于0,极限是pi/2,两者相减是pi。
再从F到D类似计算可得结果。
另外做法与之类似。
先计算绕一圈AEBFA(L)的积分。这个可以用挖洞的Green公式。
以原点为心做一个小椭圆S:4x^2+y^2=e^2,e充分小,方向为逆时针。
则L的积分-S的积分=0(这是Green公式),
因此L的积分=S的积分
=S上(xdy-ydx)/(e^2) 再用Green公式
=2S包围的面积/e^2
=pi。(好像是这个结果,你再仔细计算吧)
于是ABD的积分+DA的积分=pi,
计算出DA的积分即可。