高数证明题

Question

如题所述

Answer 1

证：
构造函数F(x)=f(x)·g(x)，则F(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导。
F(a)=f(a)·g(a)=0·g(a)=0，F(b)=f(b)·g(b)=0·g(b)=0
F'(x)=f'(x)·g(x)+f(x)·g'(x)
由罗尔中值定理得：在(a，b)内，至少存在一点ξ，使得
F'(ξ)=[F(b)-F(a)]/(b-a)=(0-0)/(b-a)=0
F'(ξ)=f'(ξ)·g(ξ)+f(ξ)·g'(ξ)
因此f'(ξ)·g(ξ)+f(ξ)·g'(ξ)=0
即：f'(x)·g(x)+f(x)·g'(x)=0在区间(a，b)内至少有一个根x=ξ

Answer 2

设h(x)=f(x)g(x)，在根据题意，h(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且
h(a)=f(a)g(a)=0，h(b)=f(b)g(b)=0
根据罗尔定理，至少存在一个k∈(a,b)，使得h'(k)=0
f'(k)g(k)+f(k)g'(k)=0
即方程f'(x)g(x)+f(x)g'(x)=0在(a,b)内至少有一个根