问两道高数关于连续的证明题

Question

问两道证明题：
1.证明f(x)=（x+4)的1/3次方 在其定义域连续
2.证明：若函数f(x)是奇函数或偶函数，且f(x)在a(≠0)连续，则函数f(x)也在-a连续。

不会做啊，请大家帮帮忙！！

Answer 1

1．证明f(x)=(x+4)的1/3次方 在其定义域连续。
证明：其定义域为R，分x0= - 4及x0≠ - 4两种情况证明：
①x0= - 4，应该证明lim<x-> -4>(x+4)^1/3=0：
对于任给的ε>0，存在δ=ε^3，当| x+4 | < δ 时，有|(x+4)^1/3-0|= |x+4| ^1/3<ε成立。
②x0≠ - 4，应该证明lim<x-> x0>(x+4)^1/3=(x0+4)^1/3：
利用 a^3 -b^3=（a -b）(a^2 + ab+b^2)，取a=(x+4)^1/3，b=(x0+4)^1/3，则有
|(x+4)^1/3-(x0+4)^1/3|=|x -x0| / | (x+4)^2/3+(x+4)^1/3*(x0+4)^1/3+(x0+4)^2/3| （★），
看（★）中的分母，
相当于 | s^2+st+t^2|，可以证明：s^2+st+t^2 >0，并且| s^2+st+t^2|>t^2/2（证明此附后）
故有|(x+4)^1/3-(x0+4)^1/3| ≤ |x -x0| /(x0+4)^2/2（★★），
对于任给的ε>0，存在δ=[(x0+4)^2/2]*ε，当| x -x0 | < δ 时，看（★★），
有|(x+4)^1/3-(x0+4)^1/3| ≤ |x -x0| /(x0+4)^2/2 <ε成立。证毕。

2．证明：若函数f(x)是奇函数或偶函数，且f(x)在a(≠0)连续，则函数f(x)也在-a连续。
证明：
①若函数f(x)是奇函数，证明lim<x-> -a>f(x)=f(-a)：令t= -x：
对于任给的ε>0，存在δ=ε，当| x -(-a) | =| x +a | =| -t +a |=| t -a |< δ 时，
有|f(x) -f(-a)|= |f( -t) +f(a)| = | -f( t) +f(a)|= | f( t) -f(a)| <ε成立。
注：对“t”是在使用“f(x)在a连续”，对“x”是在证明“f(x)在-a连续”。
同理可证，
②若函数f(x)是偶函数，证明lim<x-> -a>f(x)=f(-a)：令t= -x：
对于任给的ε>0，存在δ=ε，当| x -(-a) | =| x +a | =| -t +a |=| t -a |< δ 时，
有|f(x) -f(-a)|= |f( -t) - f(a)| = | f( t) - f(a)| <ε成立。证毕。

补证s^2+st+t^2 >0，并且| s^2+st+t^2|>t^2/2：
①若st>0，则s^2+st+t^2 >0，则 |s^2+st+t^2|= s^2+st+t^2>t^2> t^2/2。
②若st<0，由均值不等式，-st≤(s^2+t^2 ) /2，则st≥- (s^2+t^2 ) /2，
故s^2+st+t^2≥s^2 - (s^2+t^2 ) /2+t^2=(s^2+t^2 ) /2>0，
于是有|s^2+st+t^2|=s^2+st+t^2≥(s^2+t^2 ) /2 > t^2/2。证毕。