上面的也可以用的,但是,
等价无穷小实际上是
泰勒公式,也就是
幂级数展开式,ln(1+x)=x-x²/2+x³/3-x⁴/4+.+(-1)ⁿֿ¹xⁿ/n+.,(-1,这里替换实际上可以替换为x-x²/2+x³/3+o(x^3),那么分子除以
分母则等于x/3+o(x^3),而下面的替换实际上也是泰勒公式没错,但是因为是乘法,后面的+o(x^3,x^4)都等于0了,所以直接sinx~x,这样替换没问题。
所以归根结底,等价无穷小的替换实际上就是讲一个函数以泰勒公式,或者说是幂级数展开,这里的泰勒公式一般是佩亚诺余项,而乘除法因为后面的高阶无穷小为0,所以可以只等价于它的主部,加减法需要展开到可以消元为高阶无穷小前一项为止,比如(x+x^2+x^3+x^4+o(x^4)),这里的x^4恰好无法消除或者是刚好消除,就只展开到这里,也就是相当于等价到这里,而不是单纯的等价于它的主部“x”。你可以自己体会一下,这里面的区别,所以加减法一般是会通分,整体代换,之类的做法,部分元素进行替换需要注意等价替换到哪一阶。