设f(x)在[0,1]上有连续的二阶导数,且f'(0)=f'(1)证明:存在ξ属于(0,1)使得∫(0->1)f(x)dx=[f(0)+f(1)]/2

证明:存在ξ属于(0,1)使得∫(0->1)f(x)dx=[f(0)+f(1)]/2+f"(ξ)/6

推荐答案 2012-08-09

分部积分，∫(0->1)f(x)dx=∫(0->1)d[f(x)(x-1/2)]-∫(0->1)f'(x)(x-1/2)dx=[f(0)+f(1)]/2-∫(0->1)f'(x)(x-1/2)dx=[f(0)+f(1)]/2-∫(0->1)d[f'(x)(x^2/2-x/2+1/4)]+∫(0->1)f''(x)(x^2/2-x/2+1/4)dx=[f(0)+f(1)]/2-0+∫(0->1)f''(x)(x^2/2-x/2+1/4)dx。由于∫(0->1)(x^2/2-x/2+1/4)dx=1/6，并且x^2/2-x/2+1/4>=0，0<=x<=1。所以，根据f''的连续性，存在ξ使得f"(ξ)/6=∫(0->1)f''(x)(x^2/2-x/2+1/4)dx。从而得证。其实这里的6可以换成大于0小于等于24的任意一个数。

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第1个回答 2012-08-10

设F(X)=∫(0->x)f(x)dx,那么F(X)三阶可导，分别把他在0和1用泰勒公式展开。然后用F(1)-F(0)即可求证。F(1)-F(0)=F(1)=[f(0)+f(1)]/2+[f"(ξ1)+f"(ξ2)]/12,
根据介值定理。存在ξ属于[0,1]使得f"(ξ)/6=[f"(ξ1)+f"(ξ2)]/12

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