怎样求隐函数导数

Question

如题所述

Answer 1

二元函数:z=f(x,y) 应变量z是自变量x,y的函数一元函数的隐函数：f(x,y)=0，应变量y是自变量x的函数，只是无法用y=f(x)这样的显函数来表达。

如果方程F(x,y)=0能确定y是x的函数，那么称这种方式表示的函数是隐函数。而函数就是指：在某一变化过程中，两个变量x、y，对于某一范围内的x的每一个值，y都有确定的值和它对应，y就是x的函数。这种关系一般用y=f(x)即显函数来表示。F(x,y)=0即隐函数是相对于显函数来说的。

隐函数导数的求解一般可以采用以下方法：

方法①：先把隐函数转化成显函数，再利用显函数求导的方法求导；

方法②：隐函数左右两边对x求导（但要注意把y看作x的函数）；

方法③：利用一阶微分形式不变的性质分别对x和y求导，再通过移项求得的值；

方法④：把n元隐函数看作(n+1)元函数，通过多元函数的偏导数的商求得n元隐函数的导数。

Answer 2

2、（1）dx=dy+d(arctany)=dy+1/(1+y2)dy=(2+y2)/(1+y2)dy

dy/dx=(1+y2)/(2+y2)

(2)dy=d(xe^y)=e^ydx+xe^ydy

dy/dx=e^y/(1-xe^y)=e^y/y

求二阶导数:

1、d(x2+y2)=0，

2、2xdx+2ydy=0, dy/dx=-y/x

3、d(dy/dx)=d(-y/x)=(-1/x)dy+（y/x2）dx

d(dy/dx)/dx=(-1/x)dy/dx+（y/x2）

=(-1/x)×（-y/x）+（y/x2）=2y/x2