y=ln（arctanx）的定义域为什么是0到正无穷开区间？

Question

如题

Answer 1

arctanx作用于ln，lnx定义域为0到正无穷开区间，
则arctanx>0
x>0，
所以定义域为0到正无穷开区间追问

想问的就是，为啥arctanx>0，X就大于零，如果画出tanx的反函数的图像，应该是跟tanx图像原点对称吧，可是从图中看的话不对啊

想问的就是，为啥arctanx>0，X就大于零，如果画出tanx的反函数的图像，应该是跟tanx图像原点对称吧，可是从图中看的话不对啊

追答

反函数图象与原函数关于y=x对称，你理解错了。

因为原函数的x相当于反函数的y，原函数的y相当于反函数的x。

就像e^x与lnx一样。

追问

如果延伸一下x>90度的图像，就是把你的第二个图再往上平移几个，那样y>0的时候x也可以取小于零了啊

追答

图象向上平移k（k>0）个单位之后，

图象由y=arctanx变成y=k+arctanx，
所以，y>0由arctanx>0变成arctanx>-k，
即x>-tank，自然可以取小于零

延伸第一象限的图象说法不对，因为x=0处切线是竖直的（就像tanx在x=0处切线是水平的一样），
延伸后是y轴负半轴，不会进入第三象限。

但是这道题没有这么问。

图象向上平移k（k>0）个单位之后，

图象由y=arctanx变成y=k+arctanx，
所以，y>0由arctanx>0变成arctanx>-k，
即x>-tank，自然可以取小于零

延伸第一象限的图象说法不对，因为x=0处切线是竖直的（就像tanx在x=0处切线是水平的一样），
延伸后是y轴负半轴，不会进入第三象限。

话说回来，这道题也没有这么问。

追问

好吧。。问问了同学说是值域默认为负二分之派到二分之派

追答

原来你要取tanx在其他周期上的反函数啊，
确实是规定，
arctanx只取了tanx在负二分之派到二分之派这一部分，而舍去其他，由此确保tanx的单调性，

因为函数只有单调才能有反函数。

所以，tanx在其他周期上的反函数要用k+arctanx来表示
例如：y=tanx，x∈（π/2,3π/2）
则x-π∈（-π/2,π/2）
y=tanx=tan（x-π） （周期为π）
arctany=x-π
x=π+arctanx
反函数为y=π+arctanx

Answer 2

就是x的定义域是arctanx大于0，等价于x属于0到正无穷

Answer 3

括号里面的必须是大于0的，所以arctanx>0,所以x>0