求解第二类曲线积分

Question

∫ xy²dy + x²ydx ， y=(1-x²)^1/2 x: -1→1 用格林公式

Answer 1

记式中的积分曲线为L。
添加直线段L1：y=0上x从1到-1的一段。
记L与L1围成的区域为D。
设P=xxy，Q=xyy，
则P'y=xx，Q'x=yy，
则原式=（∫L…+∫L1…）-∫L1…
=∫∫〔D〕【yy-xx】dxdy-0
=∫〔-1到1〕dx∫〔0到√1-xx〕【yy-xx】dy
=∫〔-1到1〕【(1/3)(1-xx)^(3/2)-xx√1-xx】dx
=2∫〔0到1〕【(1/3)(1-xx)^(3/2)-xx√1-xx】dx，
然后可换元令x=sint计算其值。追问

没这么麻烦吧

追答

是否原题。

追问

是原题，老师用的极坐标积分 貌似很简单的样子 但是不懂
I = ∬（y²-1-x²)dxdy I = ∫(L+L1) - ∫(L) = - ∬[y²-(1-x²)]dxdy - 0
不知道这1哪来的
I = -∫(0-π)dθ ∫(0-1)r² r dr
不知道1 到哪去了

追答

①可以插项-1+1，但是未能解释出来，如下：
原式=∫∫〔D〕【yy-xx】dxdy
=∫∫〔D〕【yy-xx-1+1】dxdy
=∫∫〔D〕【yy-xx-1〕dxdy+∫∫〔D〕dxdy
②用格林公式得到的二重积分的被积函数是yy-xx，
而追问的倒数第二行中的rr=yy+xx