如图,矩形ABCD中,AB=20,BC=10,若在AC、AB上各取一点M、N,使BM+MN的值最小,试求出这个最小值

Question

如题所述

Answer 1

分析：作B关于AC的对称点B′，连AB′，则N点关于AC的对称点N′在AB′上，这时，B到M到N的最小值等于B→M→N′的最小值，等于B到AB′的距离BH′，连B与AB′和DC的交点P，再由三角形的面积公式可求出S
△ABP
的值，根据对称的性质可知∠PAC=∠BAC=∠PCA，利用勾股定理可求出PA的值，再由S
△ABP
=1/2PA•BH′即可求解．
解：如图，作B关于AC的对称点B′，
连AB′，则N点关于AC的对称点N′在AB′上，
这时，B到M到N的最小值等于B→M→N′的最小值，
等于B到AB′的距离BH′，
连B与AB′和DC的交点P，
则S
△ABP
=1/2×20×10=100，
由对称知识，∠PAC=∠BAC=∠PCA，
所以PA=PC，令PA=x，则PC=x，PD=20-x，
在Rt△ADP中，PA^
2
=PD^
2
+AD^
2
，
所以x^
2
=（20-x）^
2
+10^
2
，
所以x=12.5，
因为S
△ABP
=1/2PA•BH′
所以BH′=2S△ABP/PA=100X2/12.5=16

Answer 2

当N确定时，使BM+MN的值最小，就是过N作NE垂直AC于F，使EF=NF，连接BE，则BE于AC的交点就是所求的M点

当N逐渐变化时，点E也在移动，则E点移动的轨迹组成一条线段，此线段所在的直线AE与AB关于AC对称，即角EAC=角BAC

要使BM+MN的值最小，即点B到直线AE的距离最小
即当BE垂直AE时，BM+MN的值最小，最小值就是BE的长度

延长CB至G，使BG=BC，连接AG，过G作GH垂直AC于H
因为 BG=BC，AB垂直CG
所以 角GAB=角BAC，AG=AC
因为 角EAC=角BAC
所以 角GAC=角BAE
因为 AB=20，BG=BC=10，AB垂直CG
所以 AG=AC=10√5
因为 三角形AGC的面积=1/2AC*GH=1/2CG*AB
所以 GH=8√5
因为 AG=AC=10√5
所以 sin(∠GAC)=4/5
因为 角GAC=角BAE
所以 sin(∠BAE)=4/5
因为 AB=20，BE垂直AE
所以 BE=16
所以 BM+MN的最小值=16