求幂级数∑(n=1→∞)(-1)^(n-1)*1/(2n^2-n)*x^(2n+1)的收敛域及和函数S(x)
请把求和函数的步骤写的清楚一些,好像要求解一个微分方程,我不会求特解。谢谢!
幂级数后项系数与前项系数比的极限是1,所以收敛半径R=1.当x=1时,级数收敛;当x=-1时,级数收敛。故幂级数的收敛域是[-1,1)。
设f(x)=∑(n=1,∞) x^n/(n+1),则有xf(x)=∑(n=1,∞) x^(n+1) /(n+1)。上式两边对x求导,得[xf(x)] '=∑(n=1,∞)x^n=x/(1-x)。
所以xf(x)=∫(0,x)t/(1-t) dt=-x-ln|1-x|。因此,f(x)=-1-ln|1-x|/x。
幂函数的性质:
当α为整数时,α的正负性和奇偶性决定了函数的单调性:
1、当α为正奇数时,图像在定义域为R内单调递增。
2、当α为正偶数时,图像在定义域为第二象限内单调递减,在第一象限内单调递增。
3、当α为负奇数时,图像在第一三象限各象限内单调递减(但不能说在定义域R内单调递减)。
4、当α为负偶数时,图像在第二象限上单调递增,在第一象限内单调递减。