求幂级数的收敛域及和函数

Question

求幂级数∑(n=1→∞)(-1)^(n-1)*1/(2n^2-n)*x^(2n+1)的收敛域及和函数S(x)
请把求和函数的步骤写的清楚一些，好像要求解一个微分方程，我不会求特解。谢谢！

Answer 1

幂级数后项系数与前项系数比的极限是1，所以收敛半径R＝1.当x＝1时，级数收敛；当x＝-1时，级数收敛。故幂级数的收敛域是[-1,1)。

设f(x)＝∑(n＝1,∞) x^n/(n+1)，则有xf(x)＝∑(n＝1,∞) x^(n+1) /(n+1)。上式两边对x求导，得[xf(x)] '＝∑(n＝1,∞)x^n＝x/(1-x)。

所以xf(x)＝∫(0,x)t/(1-t) dt＝-x-ln|1-x|。因此，f(x)＝-1-ln|1-x|/x。

幂函数的性质：

当α为整数时，α的正负性和奇偶性决定了函数的单调性：

1、当α为正奇数时，图像在定义域为R内单调递增。

2、当α为正偶数时，图像在定义域为第二象限内单调递减，在第一象限内单调递增。

3、当α为负奇数时，图像在第一三象限各象限内单调递减（但不能说在定义域R内单调递减）。

4、当α为负偶数时，图像在第二象限上单调递增，在第一象限内单调递减。

Answer 2

求幂级数的收敛域及和函数：

又当x=正负l时，幂级数均收敛，故此幂级数的收敛域为[-1，1]。

当x=正负1时，

扩展资料：

数项级数式可能收敛，也可能发散。如果数项级数式是收敛的，为函数项级数的收敛点；如果数项级数式是发散的，为函数项级数的发散点。

函数项级数式的所有收敛点的集合称为其收敛域，所有发散点的集合为其发散域。对于收敛域上的每一个数x，函数项级数都是一个收敛的常数项级数。

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Answer 3

如图所示：

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