二阶常系数非齐次线性微分方程如何求特解？

Question

如题所述

Answer 1

二阶常系数非齐次线性微分方程的表达式为：y''+py'+qy=f(x)。其特解y*设法分为：

1、如果f(x)=P（x），Pn（x）为n阶多项式。

2、如果f(x)=P（x）e^αx，Pn（x）为n阶多项式。

如果f(x)=P（x），Pn（x）为n阶多项式：

若0不是特征值，在令特解y*=x^k*Qm(x)*e^λx中，k=0，λ=0；因为Qm(x)与Pn（x）为同次的多项式，所以Qm(x)设法要根据Pn（x）的情况而定。

比如如果Pn（x）=a（a为常数），则设Qm(x)=A（A为另一个未知常数）；如果Pn（x）=x，则设Qm(x)=ax+b；如果Pn（x）=x^2，则设Qm(x)=ax^2+bx+c。

若0是特征方程的单根，在令特解y*=x^k*Qm(x)*e^λx中，k=1，λ=0，即y*=x*Qm(x)。

若0是特征方程的重根，在令特解y*=x^k*Qm(x)*e^λx中，k=2，λ=0，即y*=x^2*Qm(x)。