设f(x)是数域F上的2008次多项式，证明2009√2不可能是f(x)的根。 在这里f(x)有可

Question

设f(x)是数域F上的2008次多项式，证明2009√2不可能是f(x)的根。
在这里f(x)有可能是有理数，无理数，复数域多项式啊，怎么能判断（x∧2009-2,f(X))=1?

Answer 1

这样的写法容易引起误解, 建议写成2^(1/2009).
另外, 对于一般的数域F, 这个结论是不成立的,
例如F = Q(2^(1/2009)), f(x) = x^2008-2^(1/2009)x^2007.
原题应该是要求f(x)是有理系数多项式.

易见2^(1/2009)为g(x) = x^2009-2的根.
而由Eisenstein判别法, 可知g(x)在有理数域上不可约.
若f(2^(1/2009)) = 0, 则f(x)与g(x)有公共根, (f(x),g(x)) ≠ 1.
但g(x)在有理数域上不可约, 又(f(x),g(x))为有理系数多项式,
因此(f(x),g(x)) = g(x), 即g(x)整除f(x), 与deg(f) = 2008 < 2009 = deg(g)矛盾.