为什么函数f(x)=IxI在点x=0处不可导但在在该点取得极小值?但教材29说导数值为0是取极值的必要不充分条件

如题所述

推荐答案 2013-03-05

你好大学的极小值定义，极小值的定义是存在x0的一个邻域，使得任意x属于此邻域，f（x）≥f（x0）则f（x0）即极小值所以数f(x)=IxI在点x=0处取得极小值，没错
函数f(x)=IxI在点x=0处不可导它在左边斜率（导数）为-1，右边（导数）是1。
在大学中导数值为0是取极值的必要不充分条件知命题是不对的。追问

那么分段函数当X1时，f(x)=x^2-2有极值吗？

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第1个回答 2013-03-05

f(x)=IxI在点x=0处不可导
|x|》0，故在该点取得极小值。
说导数值为0是取极值的必要不充分条件的意思是：导数存在且该点为极值，那么导数值为0追问

那么分段函数当X1时，f(x)=x^2-2有极值吗？

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y=|x|, 极小值点在x=0这点取得。函数在x=0不可导答：因为左导数=lim(x->0-)(|x|/x)=lim(x->0-)(-x/x)=-1 右导数=lim(x->0+)(|x|/x)=lim(x->0+)(x/x)=1 左导数≠右导数所以不可导。只是x=0处不可导，其他任何点处都是可导的。

为什么在一点处导数不存在却是极值点?答：因为极值点只关心f（x）在区域内的局部函数值，不关心是否可导。因此函数f（x）在极值点x0处可能不可导，如在x=0处不可导。如果函数在某点的左右导数不相等，则函数在这点就是不可导点。极值点出现在函数的驻点（导数为0的点）或不可导点处（导函数不存在，也可以取得极值，此时驻点不存在）。

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